LektorNilsen skrev:Her kommer et løsningsforslag til hele eksamen R1 våren 2017.
Kom gjerne med tilbakemeldinger dersom noe er uklart/feil.
Blir litt pirking på oppgave 4d på del 2.
La $Q(x)=f(x)-b-f'(x)\cdot (x-a)$, der $Q$s røtter tilsvarer tangenter gjennom punktet $P(a,b)4$. Det er ikke ikke tilstrekkelig å si at $Q$ maksimalt har 3 røtter, uten å henvise til et faktisk eksempel der det finnes 3 tangenter. Dette er trivielt siden punktet $A$ oppfyller dette, men likevel er det nødvendig å presisere, ettersom det er en mulighet for at $Q$ alltid har 2 røtter eller færre (imaginære røtter, gjentatte røtter, osv..).
Og det er fortsatt ikke tilstrekkelig, fordi om $P$ skulle ligge på $f$, er det ikke direkte umiddelbart at tangenten
i $P$ faktisk er en av røttene til polynomet $Q$, noe som potensielt tillater 4 tangenter (3 fra røttene av $Q$, og 1 fra tangenten i punktet $P$ selv). Ved nærmere inspeksjon er tilfellet slik at tangenten i tangenten til $f$ i $P$ vil være en rot i $Q$ (dette kan vises ved å sette $b\rightarrow f(a)$, og se at $Q(a)=0$).
Disse tilfellene er ikke umiddelbare, og må løses opp i, om man skal basere argumentet på noe som "et tredjegradspolynom har maksimalt tre røtter...".