Avstand fra punkt til linje

[Waldor]

To plan er gitt, [tex]\alpha : x - y -2z + 8 = 0[/tex] og [tex]\beta : 2x - y + z - 4 = 0[/tex]. Planene skjærer hverandre i ei [tex]linje[/tex] [tex]l[/tex]. Finn avstanden mellom [tex]linja[/tex] [tex]l[/tex] og [tex]punktet[/tex] [tex]P(1 , -3, 5)[/tex].

Håper noen kan hjelpe meg på vei med denne.

[DennisChristensen]

To plan er gitt, [tex]\alpha : x - y -2z + 8 = 0[/tex] og [tex]\beta : 2x - y + z - 4 = 0[/tex]. Planene skjærer hverandre i ei [tex]linje[/tex] [tex]l[/tex]. Finn avstanden mellom [tex]linja[/tex] [tex]l[/tex] og [tex]punktet[/tex] [tex]P(1 , -3, 5)[/tex].

Håper noen kan hjelpe meg på vei med denne.

Ved inspeksjon ser vi at planene skjærer hverandre i punktet $(0,0,4)$. Vi har normalvektorene $$\vec{n}_{\alpha} = \left[1,-1,-2\right]$$ og $$\vec{n}_{\beta} = \left[2,-1,1\right],$$ og får derfor en retningsvektor $\vec{r}_{l}$ for linja $l$ gitt ved $$\vec{r}_l = \vec{n}_{\alpha} \wedge \vec{n}_{\beta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \left[-1 - 2,-1 - 4, -1 + 2\right] = \left[-3,-5,1\right].$$

Derfor får vi en parameterfremstilling: $$l:\text{ }\begin{cases} x = -3t \\ y = -5t \\ z = 4 + t\end{cases}, t \in \mathbb{R}.$$

Hvis $X(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)$ er et generelt punkt på linja, får vi at $$\vec{XP}(t) = \left[1 + 3t, -3 + 5t, 5 - (4+t)\right] = \left[1 + 3t, -3 + 5t, 1 - t\right].$$

Vi ønsker å finne den verdien for $t$ som forårsaker at $\vec{XP}(t)$ og $\vec{r}_l$ er ortogonale, altså $\vec{XP}(t)\cdot\vec{r}_l = 0.$
$$\displaystyle\begin{align*} 0 & = \vec{XP}(t)\cdot\vec{r}_{l} \\
& = \left[1 + 3t, -3 + 5t, 1 - t\right]\cdot\left[-3,-5,1\right] \\
& = -3(1 + 3t) - 5(-3 + 5t) + 1 - t \\
& = -3 + 15 + 1 - 9t - 25t - t \\
& = 13 - 35t. \end{align*}$$

Vi får verdien $t=\frac{13}{35}$. Vi kan nå sette denne verdien inn i uttrykket vårt for å regne ut avstanden.

$$\displaystyle\begin{align*} \text{avstand} & = |\vec{XP}(\frac{13}{35})| \\
& = |\left[1 + 3\cdot\frac{13}{35}, -3 + 5\cdot\frac{13}{35}, 1 - \frac{13}{35}\right] \\
& = |\left[\frac{74}{35}, -\frac{8}{7},\frac{22}{35}\right]| \\
& = \sqrt{\left(\frac{74}{35}\right)^2 + \left(-\frac{8}{7}\right)^2 + \left(\frac{22}{35}\right)^2} \\
& = \frac{6\sqrt{210}}{35}.\end{align*}$$