Polynomdivisering og faktorisering

[Perse]

Hei jeg trenger litt hjelp med følgende stykke

"Vi setter h(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6
Finn h(1) og h(-1). Faktoriser h(x) mest mulig."

Jeg finner at h(1) og h(-1) begge er nullpunkter.
Da bør det være mulig å dividere uttrykket med
(x-1) og (x+1). Og det er her jeg feiler. Jeg får
Ikke til polynomdivisjonene uten at jeg ender opp
Med rest og da får jeg heller ikke faktorisere noe.

[Fysikkmann97]

$(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6) : (x-1) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \\
{\color{Red} {- (x^4 - x^3)}}\\
-4x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \\
{\color{Red} {- (-4x^3 + 4x^2)}}\\
x^2 + 5x -6 \\
{\color{Red} {- (x^2 - x) }}\\
6x - 6 \\
{\color{Red} {- (6x - 6)}} \\
0$

Ser at det nye uttrykket er null for x = 3. Da kan man lett finne det faktoriserte uttrykket, da (x - 1)(x+1)(x-3)(x-b) skal være -6 for x = 0, altså

$-1*1*(-3)*-b = -6 \\
-3b = - 6 \Leftrightarrow b = 2$

Altså er $h(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = (x-1)(x+1)(x-3)(x-2)$

[Bananiel]

Hei!

[tex]x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6[/tex]

Først tok jeg selve likningen inn i wxMaxima programvare og fant faktor som var [tex]x+1[/tex]

Dermed får vi:

[tex](x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6) :[/tex][tex](x+1) =[/tex] [tex]x^3-6x^2+11x-6[/tex]

Deretter gjorde jeg det samme med med hva vi fikk ut av stykket ovenfor, her ble faktor [tex]x-1[/tex].

[tex](x^3-6x^2+11x-6) :[/tex][tex](x-1) =[/tex] [tex]x^{2}-5x+6[/tex]

Nå har vi fått ett andregradsuttrykk og kan ta nullpunktene av denne med andregradsformelen:

[tex]x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex]

[tex]a = 1[/tex]
[tex]b = -5[/tex]
[tex]c = 6[/tex]

[tex]x = \frac{5\pm \sqrt{25-4\cdot 1\cdot 6}}{2}[/tex]

Etter å regnet ut denne får vi [tex](x-2)(x-3)[/tex]

Dermed vet vi at nullpunktene til polynomet er [tex](x+1)[/tex][tex](x-1)[/tex][tex](x-2)(x-3)[/tex].

For å dobbeltsjekke om vi har gjort det riktig kan det være lurt å få dette inn i wxMaxima og se på utvidingen. I dette tilfellet skal alt være korrekt.

[Perse]

Takk takk. Da var det en fortegnsfeil jeg gjorde. Og ikke klarte å se selvom jeg brukte to dager.

[Bananiel]

Takk takk. Da var det en fortegnsfeil jeg gjorde. Og ikke klarte å se selvom jeg brukte to dager.

Står du fast på utregninger så anbefaler jeg verktøyene wxMaxima (http://www.moglestu.com/maxima/) og SymboLab (https://www.symbolab.com/)