matematikk.net

Skal løse likningen:
y' - 2xy = 2x

Bruker da e^(-x^2 ) som integrerende faktor, men klarer ikke finne løsningen?
Noen som kan hjelpe?

Martinow skrev:Skal løse likningen:
y' - 2xy = 2x

Bruker da e^(-x^2 ) som integrerende faktor, men klarer ikke finne løsningen?
Noen som kan hjelpe?

[tex]y'-2xy=2x[/tex]

[tex]e^{\int p(x)dx}[/tex]

[tex]p(x)=-2x\Rightarrow \int p(x)dx=-x^2[/tex]

[tex]y-2xy=2x\Rightarrow (y*e^{-x^2})'=2x*e^{-x^2}[/tex]

[tex]y*e^{-x^2}=-e^{-x^2}+C\Longleftrightarrow y=Ce^{x^2}-1[/tex]

[tex]y*e^{-x^2}=\int 2x*e^{-x^2}dx[/tex]

[tex]\int 2x*e^{-x^2}dx, u=-x^2\Rightarrow \frac{du}{dx}=-2x\Leftrightarrow dx=-\frac{du}{2x}[/tex]

[tex]\int 2x*e^{u}\frac{du}{-2x}=-\int e^u du=-e^{-x^2}+C[/tex]

[tex]\boxed {y=Ce^{x^2}-1}[/tex]



Alternativ:

[tex]y'-2xy=2x\Leftrightarrow y'=2x+2xy=2x(1+y)\Leftrightarrow y'*\frac{1}{(y+1)}=2x[/tex] osv..