feil ?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gjest

hva er feil med denne egentlig:

[tex]\int \sqrt{1-x^2}dx[/tex]

[tex]z=1-x^2[/tex]
[tex]\int \sqrt{u}du=\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}u^{1+\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\left (\sqrt{1-x^2} \right )^{\frac{3}{2}}[/tex]


??
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Sikkert flere elegante måter å gjøre dette på, men ser at sub. [tex]x=sin(u)[/tex] er mulig.

Da får du at [tex]x=sin(u), dx=cos(u)du[/tex]

Så vet vi at [tex]1-sin^2(u)=cos^2(u)[/tex] som gir at integralet blir [tex]\int\sqrt{cos^2(u)}cos(u)du[/tex]

Tar du det derifra eller?
Gjest

For det første mener du sikkert at $u=1-x^2$ og for det andre må du også dele på den deriverte substitusjonen når du bytter integrasjonsvariabel. $\frac{du}{dx} = u'$, $dx = \frac{du}{u'}$

$\int \sqrt{1-x^2}dx$
$\int \sqrt{u}\frac{1}{u'} du$
Gjest

Kay skrev:Sikkert flere elegante måter å gjøre dette på, men ser at sub. [tex]x=sin(u)[/tex] er mulig.

Da får du at [tex]x=sin(u), dx=cos(u)du[/tex]

Så vet vi at [tex]1-sin^2(u)=cos^2(u)[/tex] som gir at integralet blir [tex]\int\sqrt{cos^2(u)}cos(u)du[/tex]

Tar du det derifra eller?
hvorfor er denne substitutsjonen mulig
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Gjest skrev:
Kay skrev:Sikkert flere elegante måter å gjøre dette på, men ser at sub. [tex]x=sin(u)[/tex] er mulig.

Da får du at [tex]x=sin(u), dx=cos(u)du[/tex]

Så vet vi at [tex]1-sin^2(u)=cos^2(u)[/tex] som gir at integralet blir [tex]\int\sqrt{cos^2(u)}cos(u)du[/tex]

Tar du det derifra eller?
hvorfor er denne substitutsjonen mulig
Fordi [tex]\sqrt{a-bx^2}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}sin(u)[/tex] og ettersom at både a og b = 1 gir det at [tex]\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}sin(u)=sin(u)[/tex] og ettersom at leddet har [tex]x^2[/tex] får vi [tex]sin^2(u)[/tex]
Gjest

jeg mente ikke å bruke subtitusjonsregelen


[tex]\int \sqrt{1-x^2}dx[/tex]

er dere enig at det er det samme som [tex]\int \sqrt{1-x^2}dx=\int (1-x^2)^{\frac{1}{2}} dx[/tex]

bruker deretter integrasjonrsregel for en potensfunksjon:

[tex]\int x^rdx=\frac{1}{r+1}x^{r+1}+C[/tex]

[tex]\int (1-x^2)^{\frac{1}{2}} dx=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}(1-x^2)^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{\frac{3}{2}}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C[/tex]

hva er feil?
Gjest

Fordi det ikke står noe så enkelt som kun x inne i parentesen, men også en $x^2$. Når du integrerer må du også huske på å ta med kjernen. Dersom kjernen hadde vært noe så enkelt som et konstantledd eller x kunne du bare integrert med potensregelen fordi kjernen forsvinner ved derivering. Når kjernen inneholder $x^2$ eller høyere kan man ikke bare bruke potensregelen fordi kjernen ikke forsvinner ved derivering.

Prøv å derivere $\sqrt{1+x^2}$
$\left(\sqrt{1+x^2}\right) \frac{d}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x + C$
Nå har du fått med deg et ekkelt $2x$ ledd som gjør uttrykket ditt mer komplekst enn du startet med. Fortsetter du å derivere vil dette bare fortsette å bli mer grumsete. Prøver du å integrere merker du fort at du nå må ta hensyn til 2x og dermed må integrere et produkt. Du må med andre ord ta en omvei og må bruke substitusjon.
Nå se dersom kjernen bare er med $x$
$\left(\sqrt{1+x}\right) \frac{d}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 + C$
Denne er kjempegrei å integrere direkte tilbake til starten fordi 1 tallet ikke tukler med uttrykket ditt

Du vil aldri bli kvitt det som står inne i funksjoner som logaritmer, trigonometriske funksjoner og kvadratrøtter.

En annen måte å argumentere på er at du er enig i at $1-x^2 \neq x$ ikke sant? Så den substitusjonen funker ikke. Dersom du istedenfor sier at $1-x^2 = k$ legger du kanskje også merke til at integrasjonen ber oss ikke om å integrere k, men x.
$\int (k)^{\frac{1}{2}} dx$ funker ikke.
Du kan ikke behandle k som en konstant ettersom k er en funksjon av x, $k(x) = 1-x^2$. Altså må man også endre integrasjonsvariabelen, dx til dk, gjennom f.eks. substitusjonsregelen om dette skal fungere.
Gjest

Gjest skrev:Fordi det ikke står noe så enkelt som kun x inne i parentesen, men også en $x^2$. Når du integrerer må du også huske på å ta med kjernen. Dersom kjernen hadde vært noe så enkelt som et konstantledd eller x kunne du bare integrert med potensregelen fordi kjernen forsvinner ved derivering. Når kjernen inneholder $x^2$ eller høyere kan man ikke bare bruke potensregelen fordi kjernen ikke forsvinner ved derivering.

Prøv å derivere $\sqrt{1+x^2}$
$\left(\sqrt{1+x^2}\right) \frac{d}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x + C$
Nå har du fått med deg et ekkelt $2x$ ledd som gjør uttrykket ditt mer komplekst enn du startet med. Fortsetter du å derivere vil dette bare fortsette å bli mer grumsete. Prøver du å integrere merker du fort at du nå må ta hensyn til 2x og dermed må integrere et produkt. Du må med andre ord ta en omvei og må bruke substitusjon.
Nå se dersom kjernen bare er med $x$
$\left(\sqrt{1+x}\right) \frac{d}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 + C$
Denne er kjempegrei å integrere direkte tilbake til starten fordi 1 tallet ikke tukler med uttrykket ditt

Du vil aldri bli kvitt det som står inne i funksjoner som logaritmer, trigonometriske funksjoner og kvadratrøtter.

En annen måte å argumentere på er at du er enig i at $1-x^2 \neq x$ ikke sant? Så den substitusjonen funker ikke. Dersom du istedenfor sier at $1-x^2 = k$ legger du kanskje også merke til at integrasjonen ber oss ikke om å integrere k, men x.
$\int (k)^{\frac{1}{2}} dx$ funker ikke.
Du kan ikke behandle k som en konstant ettersom k er en funksjon av x, $k(x) = 1-x^2$. Altså må man også endre integrasjonsvariabelen, dx til dk, gjennom f.eks. substitusjonsregelen om dette skal fungere.
Tusen takk for svar, men
Når kjernen inneholder $x^2$ eller høyere kan man ikke bare bruke potensregelen fordi kjernen ikke forsvinner ved derivering.
Dette forstod jeg ikke

[tex]\int x^2dx=\frac{1}{1+2}x^{2+1}=\frac{1}{3}x^3+C[/tex]
det fungerer jo?

skjønner hva du mener med at hvis [tex]k=1-x^2[/tex], da blir [tex]\int kdx=kx+C[/tex],
Gjest

Gjest skrev: Tusen takk for svar, men
Når kjernen inneholder $x^2$ eller høyere kan man ikke bare bruke potensregelen fordi kjernen ikke forsvinner ved derivering.
Dette forstod jeg ikke

[tex]\int x^2dx=\frac{1}{1+2}x^{2+1}=\frac{1}{3}x^3+C[/tex]
det fungerer jo?
Kjernen er det som står inne i funksjonen eller parentesen. For $(x^2-3)^5$ funker ikke potensregelen fordi kjernen, $x^2-3$, har en potens med $x^2$ eller høyere. Hva kjernen er opphøyd i er ikke så viktig med mindre det er -1, da må du bruke logaritmer.
Gjest skrev: skjønner hva du mener med at hvis [tex]k=1-x^2[/tex], da blir [tex]\int kdx=kx+C[/tex],
Hvis $k=1-x^2$ blir ikke $\int k dx = kx+C$ nettopp fordi k er en funksjon av x. k må ikke ses på som en konstant her, men kall det istedenfor $k(x)$ slik at $\int k(x) dx$. Dersom det sto $\int k(x) dk$ hadde svaret blitt $\frac{1}{2}(k(x))^2+C$. Du må alltid holde styr på hvilken variabel du integrerer eller deriverer med hensyn på.
Svar