matematikk.net

Hei folkens, jeg sliter litt med å forstå hvordan jeg skal løse oppgaver av typen:

[tex]a_{1} = 20, a_{2} = 15[/tex] og [tex]a_{n} = a_ {n-1} - a_{n-2} + 29[/tex] for alle [tex]n \geq 3[/tex]. Finn [tex]a_{2003}[/tex]

Jeg lurer ikke på løsningen på spesifikt denne oppgaven, men trenger heller råd om hvordan slike typer oppgaver ofte løses, hvordan man uttrykker $a_n$ med $n$, og andre tips og triks.

Hadde satt stor pris på litt hjelp med dette!

Marius

Les deg opp på differenslikninger du. Løses nesten likt som differensiallikninger.

Eventuelt kan du merke deg at $a(n)$ bare kan ta ett vist antall verdier. Etter dette så gjentar verdiene seg.
Målet ditt blir å vise at $a(n)$ er periodisk og å finne perioden. Etter dette burde det være en smal sak å finne $a(2003)$

Så flott, da har jeg noe å gjøre i jula også

Bare et par spørsmål: Hvordan kan jeg være sikker på at $a_n$ bare kan ta et visst antall verdier? Og forresten, kan ikke også periodene bli upraktisk lange, slik at det av den grunn kan være lurt å ha lest seg opp på differenslikninger?

Selvagt. Men regner med du ser på abel-oppgaver? Og da vil alltid oppgavene være laget slik at en
skal klare å se løsningee uten å bruke for mye tid på detaljene. Angående at løsningen er periodisk
kan en atter en gang trekke paraleller til differensiallikninger. Andreordens differensiallikninger har
også periodiske løsninger gitt at den karakteristiske likningen har komplekse røtter, og regner med
det samme stemmer for differenslikninger. Her er perioden kort, så du trenger ikke bry deg om det.