Eksamen 1t vår 2013

[damc]

Noen som kan legge ut eksamen her?

[ThomasSkas]

Lurte på det samme , faktisk.
Er interessert i oppgavene som ble gitt idag ettersom ejg kunne ha blitt trukket ut i år

[Nebuchadnezzar]

[Eksamen V13] - MAT1013 - Matematikk 1T


Del I


Oppgave 1

$ \displaystyle
\frac{ 750 000 }{0.005}
= \frac{ 7.5 \cdot 10^5 }{ 0.5 \cdot 10^{-2} }
= \frac{7+1/2}{1/2} \cdot 10^{5 - (-2)}
= \left( 7 \cdot 2 + 1\right) \cdot 10^7
= 1.5 \cdot 10^8
$

Oppgave 2

$ \displaystyle
\begin{align*}
2x + 3y & = 7 \\
5x - 2y & = 8
\end{align*}
$

Dersom vi ser på $2 \cdot (1) + 3 \cdot (2)$ ser vi at vi får likningen

$
\begin{align*}
(4x + 6y) + (15x - 6y) & = 14 + 24 \\
19x & = 19 + 19 \\
x & = 2
\end{align*}
$

Alternativt kan innsetningsmetoden brukes, men da må en hanskes med brøker.
Uansett setter vi inn $x$ verdien eksempelvis i $(1)$ finner vi at

$3y = 7 - 2x = 3$, så $y=1$ og $x=2$.


Oppgave 3

$ \displaystyle
\frac{ x^2 - 16 }{ x^2 - 4x + 16 } =
\frac{ x^2 - 16 }{ x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2} =
\frac{ (x - 4)(x + 4) }{ (x-4)^2 } =
\frac{ x + 4}{ x - 4 }
$

Hvor det ble benyttet andre kvadratsetning $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.


Oppgave 4

Likningen for en rett linje er $y = ax + b$, her er
stigningstallet gitt som

$ \displaystyle
a = \frac{ 3 - 0 }{0 - 6} = - \frac{ 1 }{ 2 }
$

slik at vi kan skrive

$ \displaystyle
y = - \frac{1}{2}x + b
$

for å bestemme $b$ så kan vi se at likningen må gå igjennom punktet $(0,3)$, slik at
$x=0$ gir $y = 3$. Løser vi likningen for $b$ og setter inn fås

$ \displaystyle
b = y + x/2 = 3 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 3 \: .
$

Så likningen for den rette linjen i koordinatsystemet er

$ \displaystyle
y = \frac{1}{2} + 3\:.
$

Oppgave 5

Skriver om alle uttrykkene
$ (1/2)^0 = 1$
$ \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^2}=3$.
$ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} > 2 \sqrt{4} = 4$.
$ 1/9 - 3^{-2} = 0$.
$ 0 \leq \sin 50^\circ \leq 1$.
$ \lg 150 = \lg 10 + \lg 15 = 1 + \log 15 $.

Herfra så får vi i stigende rekkefølge

$ \displaystyle
\frac{1}{9} - 3^{-2} < \sin 50^\circ
< (1/2)^0
< \lg(150)
< 27^{1/3}
< \sqrt{20}.
$

Siden $\lg 100 = 2$, og $\lg 10 = 1$, så er $1 < \log 15 < 2$ og
sinus er per definisjon alltid mellom $0$ og $1$, her ble det da benyttet radianer.


Oppgave 6

Enten er begge kulene blå, eller så er begge kulene røde, summen er hva vi er ute etter.

$ \displaystyle
(1) = P(\text{blå} \cap \text{blå})
= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}
= \frac{1}{10}
$

og

$ \displaystyle
(2) = P(\text{rød} \cap \text{rød})
= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}
= \frac{3}{10}
$

Summen er da

$\displaystyle
P(2 \cup 2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \approx 40 \percent
$.


Oppgave 7

a) Legg merke til at

$ \begin{align*}
f(x) = & -x^2 - 4x + 5 \\
= & -(x^2 -x + 5x - 5 ) \\
= & - [x(x-1) + 5(x-1)] \\
& = (x+5)(1-x)
\end{align*}
$

Nullpunktene er dermed $x=-5$ eller $x=5$. Alternativt fungerer og andregradsformelen, med marginalt mer regning.


b) Her har vi at

$f(x) = -(x^2 - 4x + 16) + 9 = 9 - (x+2)^2 $

Slik at $f(x)$ er maksimal når $x=-2$, altså vi fullfører kvadratet og legger merke til at $- (x+2)^2\leq 0$ for alle $x$,
og den minste verdien denne delen kan ha er $0$ som skjer når $x=-2$.
Alternativt fungerer derivasjon og så fortegnslinje eller drøfting av den dobbelderiverte. ($siden f''(1)<0 så er $f(1)$ toppunkt$)

c) KEISAMT


d)

En tangentlinje er på formen $y = a(x - x_0) + b$, hvor vi har at
$a = f'(1) = -2(-1) - 4 = -2$ og $x_0 = -1$, så tangentlinjen blir

$
y = -2(x + 1) + 8 = -2x +6
$

som ønsket.


Oppgave 8

a) Fra pytagoras har vi at siden $AOC$ er rett så er

$
AC^2 = AO^2 + OC^2
= r^2 + r^2
= 2 r^2
$

Siden lengden er positiv må $AC = \sqrt{2} \cdot r$, som ønsket.

b)

Arealet av $\triangle AOC$ er gitt som

$ \displaystyle
A_1 = \frac{1}{2} r \cdot r = \frac{1}{2} r^2.
$

Arealet av sirkelbuen med grunnlinje $AB$ er gitt som

$ \displaystyle
A_S = \pi \cdot r^2 / 2
$.

Arealet av halvsirkelen med grunnlinje $AC$ er gitt som

$ \displaystyle
A_C = \pi \cdot (AC/2)^2/2 = \pi \cdot r^2 / 4 = A_S / 2
$

Området mellom det blå, og trekanten er gitt som

$ \displaystyle
A_M = A_S / 2 - A_1
$

Slik at for å finne arealet av det blå, kan vi regne ut arealet av halvsirkelen, og trekke fra det skaverte området.
Da fås

$ \displaystyle
A_B = AC - A_M
= A_S/2 - ( A_S/2 - A_1)
= A_1
$

som ønsket.


Del II


Oppgave 1

Her har vi følgelig en $30-60-90$ trekant. Da hypotenusen
dobbelt så lang som den korteste kateten. Dette kan vi skrive som

$ \displaystyle
4^2 + x^2 = (2x)^2 \Rightarrow x
= 4 \sqrt{3} \: .
$

Slik at den korteste kateten er $4/\sqrt{3} \approx 2.3094$ og hypotenusen er $8/\sqrt{3} \approx 4.6188$


Oppgave 2


a) Her vil eksempelvis sinus-setningen være nyttig.
Den sier at om $ABC$ er en trekant $\Delta ABC$, med interne vinkler $A, B, C$
og sider $a, b, c$ så er

$ \displaystyle
\frac{ a }{ \sin A } = \frac{ b }{ \sin B }
= \frac{ c }{ \sin C }
$

bruker vi dette så har vi dette at

$ \displaystyle
\begin{align*}
\frac{ BD }{ \sin 60^\circ } & = \frac{ 5 }{ \sin 38.2^\circ } \\
BD & = \frac{ 5 }{ 2 } \sqrt{3} \cdot \sin 38.2^\circ \\
BD & \approx 7.0022
\end{align*}
$

b) Her kan vi eksempelvis bruke at arealet
av en trekant er gitt som $A = a \cdot b \cdot \sin (A) / 2 $.

Dersom vi ser først på trekant ABD først, har en at

$ \displaystyle
\triangle ABD \approx \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin( 180-60-38.2)
\approx 17.32
$

For å finne arealet av den siste trekanten, kan eksempelvis herons formel benyttes. Her har en at $S \approx (4 + 6 + 7)/2 = 17/2$ hvor $S$ er halvparten av omkretsen til trekant $BCD$. Da er arealet

$
\triangle BCD = \sqrt{ S(S-a)(S-b)(S-c) }
= \sqrt{ \frac{17}{2}\left( \frac{17}{2} - 4 \right) \left( \frac{17}{2} - 6 \right)\left( \frac{17}{2} - 7 \right) }
= \frac{3}{4}\sqrt{255}
\approx 11.977
$

Eller så kan vi bruke cosinussetningen til å først finne vinkel C.

$
\displaystyle
\begin{align*}
C & = \arccos \left( \frac{ a^2 + b^2 - c^2 }{ 2ab } \right) \\
& \approx \arccos \left( \frac{ 4^2 + 6^2 - 7^2 }{ 2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \\
& = \arccos \left( \frac{1}{16} \right) \\
& \approx 86.420
\end{align*}
$

Også bruke sinussetningen slik at arealet kan skrives som

$
\triangle BCD \approx \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(86.420)
\approx 11.97
$

samme som før.

Slik at det totalet arealet kan skrives som

$
\square ABCD = \Delta ABD + \Delta BCD \approx 29.297
$

Så arealet av figuren er omtrentlig $29$.


Oppgave 3

a)

Antall fargeblinde kan skrives som

$ \displaystyle
\frac{8}{100} \cdot 4000 + \frac{1}{100} \cdot 6000 = 380
$

Slik at sannsynligheten for at en person er fargeblind (FB) er gitt som

$ \displaystyle
\begin{align*}
P(FB) & = \frac{ \text{ ønskelige } }{ \text{ mulige } } \\
& = \frac{ 380 }{ 4000 + 6000 } \\
& = \frac{ 19 }{ 500 } \\
& \approx 3.8 \: \percent
\end{align*}
$

Altså er sannsynligheten for at en tilfeldig person er fargeblind er $3.8 \percent$.

b) Antall kvinner som er fargeblinde er

$ \displaystyle
\frac{1}{100} \cdot 6000 = 60 \:,
$

slik at sannsynligheten for at en kvinne er fargeblind er gitt som

$ \displaystyle
\begin{align*}
P(FB \cap \text{Kvinne} ) & = \frac{ 60 }{ 380 } \\
& = \frac{ 3 }{ 19 } \\
& \approx 15.789 \: \percent
\end{align*}
$


Oppgave 4

a) Her bruker vi binomisk fordeling og får da

Definerer først sannsynligheten for at $X = k$, ønsker å flytte fra byen som

$ \displaystyle
P(X = k) = \binom{100}{k} \left( \frac{1}{3} \right)^k \left( \frac{2}{3} \right)^{100 - k}
$

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig $30$ ønsker å flytte fra byen er gitt som

$
P(X = 30 ) \approx 0.067284 =6.7284 \: \percent
$

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig $30$ personer, ønsker å flytte fra byen er ca $6.7$ prosent.


b) $ \displaystyle f'(x) = - 3 \cos x$

Her blir det bare å legge sammen alle sannsynlighetene mellom $30$ og $50$, geogebra eller en kraftig kalkulator klarer dette fint.

$
P(31 < X < 49) = \sum_{k=30}^{50} P(k) \approx 0.72303
$

Altså var sannsynligheten for at mellom $30$ og $50$ flyttet ut ca $72.3$ prosent.

Eventuelt går det og ann å tilnærme via normalfordelingen med $\mathcal{N}(33.333,4.7140)$, og få et godt overslag.
Uansett viktig å legge merke til at mellom $30$ og $50$, betyr fra og med $31$ til og med $49$, og ikke fra $30$ til $50$.


Oppgave 5

a) La $M$ st for menn og $P$ for kvinner da har vi likningene

$
\begin{array}{rcrcr}
M & + & K & = & 1000 \\
\frac{21}{100} M & + & \frac{16}{100} K & = & 1000/5
\end{array}
$

Her deler vi på $5$, siden det bare var $1$ av $5$ som trente.

b) Begyner med løse øverste likning for $K$, da fås
$K = 1000 - M$. Deretter ganges nederste likning med $100$, også settes inn opplysningen om $K$. Da fås

$
\begin{align*}
\frac{21}{100} M + \frac{16}{100} K & = 200 \\
21 M + 16 K & = 20 000 \\
21 M + 16(1000 - M) & = 20 000 \\
5 M + 16 000 & = 20 000 \\
M & = 800
\end{align*}
$

Og tilsvarene så er $K = 1000 - 800 = 200$. Altså var det totalt sett $800$ menn og $200$ kvinner som deltok på undersøkelsen.


Oppgave 6

a) KEISAMT

b) Regner ut først ut første og andrederiverte

$ h(t) = 3.25 t^3 - 50 t^2 + 170 t + 700 $, derivasjon gir

$ h'(t) = 9.75 t^2 - 100 t + 170 $

$ h''(t) = 19.5 t - 100 $

Via andregradsformel, eller datamaskin så er $h'(t)=0$ når

$ \displaystyle
t = \frac{1}{39} \left( 200 \pm 2 \sqrt{3370} \right)\:,
$

som gir

$
t_2 \approx 8.1052$ og $t_1 \approx 2.1412\:.
$

Fra den dobbelderiverte ser en raskt at $h''(t_2)>0$ og $h''(t_1)<0$
slik at $t_1$ er et toppunkt. Tilslutt så er

$
h( t_1) = \frac{ 2172100 + 13480 \sqrt{3370} }{ 3463 } \approx 866.68\:,
$

som selvsagt rundes opp til $867$ hjort. Altså var det maksimalt $867$ hjort i området.


c) Ser fra imaginær figur at

$h(t)>850$ når $1.4224 < t < 2.94526$

Denne ulikheten beskriver når det var flere enn $850$ hjort i området.


d)

$
h'(4) = -74
$

Det dette forteller oss er at i $199(4)$ var hjortebestanden synkende.


Oppgave 7

a) Her vil hypotenusen beskrive radius i sirkelen slik at
pytagoras gir oss

$
r = \sqrt{a^2 + b^2}
= \sqrt{5^2 + (2\cdot 5)^2}
= 5 \sqrt{ 1 + 2^2 }
= 5 \sqrt{5} \approx 11.180
$

b) her er $r = 10$ og sidelengden i trekanten vil være $2x/2x = x$. Den ene sidelengden kan da skrives som

$
b = \sqrt{r^2 - x^2}
= \sqrt{100 - x^2} \:.
$

Nå kan arealet av kvadratet skrives som

$A(x) = (b + b) \cdot (x + x)
= 4x \cdot \sqrt{ 100 - x^2 } $

som ønsket.

c) La $B(x) = A(x)^2$, da er

$
B'(x) = \left( 16 x^2 (100 - x^2) \right)'
= 3200 x - 64 x^3
= 64x (x^2 - 50)
$

Slik at $A'(x)=0$ når $x=0$ eller $x^2 = 50$. Førstnevnte gir $A(0)=0$
som er et minimum mens

$
B(x^2=50) = 16 (50) \cdot 50
= 4 \cdot 10^4
$

og følgelig er

$A_{\text{max}} = \sqrt{ B(x^2=50) }= 2 \cdot 10^2 = 200$.

er et maksimum. Altså for $x = 2 \sqrt{5}$ siden $x$ må være positiv.


Oppgave 8

Litt sjapp regning gir oss at

$ \displaystyle
\frac{c}{d} - \frac{c+7d}{d+7d} = \frac{7}{8} \left( \frac{c}{d} - 1\right)
$

Om dette skal være lik $8$, så kan vi løse likningen med tanle på $c/d $ slik at en får $c/d = (7 + 8^2) / 7 = 71/7$, som en kan teste stemmer ved innsetning.
Altså du kan sjekke om

$ \displaystyle
\frac{71}{7} - \frac{71 + 7\cdot 7}{7 + 7\cdot 7} = 8
$

[Vaktmester]

Noen som kan legge ut eksamen her?

Eksamen ligger nå på http://matematikk.net/side/1T_Hovedside Det er bare en jeg har scannet inn, regner med at den bli oppgradert til originalen fra udir når vi får den fra Janhaa :)

Når vi kommer så langt eller noen føler seg inspirert vil løsningen ligge her: http://matematikk.net/side/1T_2013_v%C3 ... C3%98SNING

Edit: Da er oppgaven på siden vår oppdatert med den "korrekte" fra udir..

[Steinbiten]

Jeg kan ikke kode, så skal ikke prøve meg på noe løsningsforslag, men hiver med 3 grafer som jeg brukte som vedlegg når jeg hadde eksamen i dag:
http://imgur.com/a/FN4KY Føl fri til å hive de inn i løsningsforslaget
1: oppgave 4b
2: oppgave 6a,c
3: oppgave 7c
NB: riktig graf av 4b: http://imgur.com/DrdYErY

edit: oppg7, del 1: http://imgur.com/eQy83Yg
edit2: graf av 4b er feil, skal være mellom 31-->49. sannsynlighet kan brenne

[kovu]

Det virker som jeg hadde helt rett på del 1, bortsett fra oppgave 2. Jeg fant y, men glemte helt å finne x (tror jeg).

Steinbiten: Er du helt sikker på sannsynligheten? Jeg gjorde det samme som deg, men jeg ser vel nå at jeg burde ha tolket det annerledes. Irriterende. Hvor mange poeng trekk får man da sånn ca? Det kan vel ikke være mer enn 1 poeng?

[Steinbiten]

Steinbiten: Er du helt sikker på sannsynligheten? Jeg gjorde det samme som deg, men jeg ser vel nå at jeg burde ha tolket det annerledes. Irriterende. Hvor mange poeng trekk får man da sånn ca? Det kan vel ikke være mer enn 1 poeng?

Sjekk editen min, riktig sannsynlighetsmodell er 31-49(sjekka sensorveiledning som er her:
https://pgsf.udir.no/dokumentlager/Doku ... oveType=EV
Jepp jeg og leste ikke skikkelig oppgaveteksten tydeligvis så vil få trekk for den. Vil tippe mellom et halvt og ett poeng mtp riktig fremgangsmåte og alt det der, bare litt feil tenkt.

her er riktig graf:
http://imgur.com/DrdYErY
dvs sannsynlighet på 72%

[Janhaa]

den virka jo grei den...

[Steinbiten]

Forresten så er oppgave 7 ganske lik oppgave 5 som var på R2 eksamen V13(naturligvis en god del enklere). Virker som udir er blitt ganske glad i å gi slike firkanter innskrevet i en sirkel denne våren, så til de som skal ha R1 eksamen på onsdag, sjekk ut lignende oppgaver.

[ThomasSkas]

den virka jo grei den...

Tenker du på oppgavesettet?
Personlig synes jeg de kunne unngått en sånn "plundre-oppgave" på slutten av del 1, altså oppgave b) til halvsirkeoppgaven.
Men ellers så virker det som en stort sett Algebra/Geometri og funksjoner basert eksamen, noe som er bra synes jeg

[Janhaa]

Forresten så er oppgave 7 ganske lik oppgave 5 som var på R2 eksamen V13(naturligvis en god del enklere). Virker som udir er blitt ganske glad i å gi slike firkanter innskrevet i en sirkel denne våren, så til de som skal ha R1 eksamen på onsdag, sjekk ut lignende oppgaver.

litt artig du nevner dette; nå har jeg også titta på 1T samt grunnskoleeksamen i matte (10 kl) for V2013 og der har de en oppgave ala oppg 8 del 1 på 1T...

[Janhaa]

matematikk 1T V2013

1T-V2013.pdf

1T-eksamen

(361.1 kiB) Lastet ned 335 ganger

[Janhaa]

matematikk 1T V2013

1T-V2013.pdf

funka når jeg bytta PC... ikke veit jeg...

[compound]

Noen som kan løse resten av eksamen

[Janhaa]

Noen som kan løse resten av eksamen

del 2
tar noen og med forbehold da jeg fører rett inn uten kladding:
Eksamen - MAT1013 - Matematikk 1T (V2013)
oppgave 2
a)
sinussetninga gir: [tex]\frac{BD}{\sin(60^o)} = \frac{5}{\sin(38,2^o)} => BD = 7[/tex]
b)
Hvis firkanten tegnes osv så sees at [tex]\Delta ABD \sim \Delta BDC[/tex]
Videre vha av sinussetninga så blir AB = 8.

[tex]Areal(\Delta ABD) = {1\over 2}*5*8*\sin(60^o)=10\sqrt 3[/tex]

[tex]Areal(\Delta BCD) = {1\over 2}*4*7*\sin(60^o)=7\sqrt 3[/tex]
altså:
[tex]Areal(ABCD) = 10\sqrt 3+ 7\sqrt 3=17\sqrt 3[/tex]

oppgave 3
a)
ant fargeblinde menn: 4000*0,08 =320
ant fargeblinde damer: 6000*0,01 =60
total ant ant fargeblinde: 380

P(fargeblind)[tex]=\frac{380}{10000}=0,038[/tex]
b)
P(fargeblind dame)[tex]=\frac{60}{380}=0,158[/tex]

oppgave 4
a)
[tex]a) P=\binom{100}{30}*(\frac{1}{3})^{30}(\frac{2}{3})^{70}=0,067[/tex]
b)
[tex]P=\sum_{30}^{50}\binom{100}{x}*(\frac{1}{3})^{x}(\frac{2}{3})^{100-x}=0,723[/tex]

oppgave 5
a)
[tex]K+M=1000[/tex]
[tex]0,21M+0,16K=200[/tex]
b)
dvs 200 kvinner og 800 menn.

oppgave 6
keisam 2

oppgave 7
a)
[tex]r^2=2,5^2+5^2[/tex]
[tex]r=5,6[/tex]
b)
[tex]x^2+b^2=10^2[/tex]
[tex]b=\sqrt{100-x^2}[/tex]
arealet (A) blir så;
[tex]A(x)=2x*2b=4x*\sqrt{100-x^2}[/tex]
c)
[tex]A^,(x)=4* \sqrt{100-x^2} - \frac{4x*2x}{2\sqrt{100-x^2}}=0[/tex]
[tex]100-x^2=x^2[/tex]
[tex]x=5\sqrt 2[/tex]
dvs
[tex]2x=lengde=10\sqrt 2=bredde[/tex]
altså
[tex]A_{max}=(10\sqrt 2)^2=200[/tex]
dvs et kvadrat