R2 Eksamen løsning 2013

[administrator]

Dersom noen ønsker å løse årets eksamen i R2 er det fint om den legges på lenken under så har vi alt på ett sted

http://matematikk.net/side/R2_2013_v%C3 ... C3%98SNING




mvh

Kenneth

[ThomasSkas]

Vil bare legge til noe mindre relevant her.
Den siste uka har jeg ikke fått tilgang til andre sider på matematikk.net enn www.matematikk.net/side/matteprat.
Hver gang blir jeg sendt dit og kan ikke komme til andre sider som eksamensoppgaver eller hovedsiden, bare matte prat og andre skriveforumer.
Kan noen forklare meg det?

[mikki155]

Må si denne eksamenen var EKSTREMT lang i forhold til de forrige, og dessuten var nivået på oppgavene høyere også. Typisk det når fjorårets var såpass enkel.

[Janhaa]

Dersom noen ønsker å løse årets eksamen i R2 er det fint om den legges på lenken under så har vi alt på ett sted
http://matematikk.net/side/R2_2013_v%C3 ... C3%98SNING
mvhKenneth

jeg har eksamen (R2-V2013) på PDF, men matematikk.net tillater ikke nedlastning av PDF-filer ?
Hvorfor?

[Johan Nes]

Jeg synes ikke nivået var så høyt, foruten oppgavene jeg ikke fikk til, som kan ha hatt like mye med at jeg rett og slett ikke fikk tid.

Gjorde to deloppgaver på de to siste, men det var alt jeg fikk tid til. Jeg brukte litt mye tid på oppgave 1 og 2 som egentlig var plankekjøring, så det var feilen min, men allikevel synes jeg det var utrolig mye.

Du har virkelig ikke tid til å tenke. Du må kunne stoffet og bare kjøre igjennom, bam, bam, bam.

Hvordan gikk det med dere da? Om alt frem til de to siste oppgavene gikk så bra som jeg trodde, så burde en 4 være realistisk, men ser for meg at det kanskje kan bli 3.

[Vaktmester]

jeg har eksamen (R2-V2013) på PDF, men matematikk.net tillater ikke nedlastning av PDF-filer ?
Hvorfor?

Nei, si det. Jeg har åpnet for muligheten nå. Det er en begrensning på filstørrelsen på 7 Mb, men vi må jo ta vare på filene i all evighet, så det er kanskje greit at de ikke er for store...

[Vaktmester]

Dersom noen ønsker å løse årets eksamen i R2 er det fint om den legges på lenken under så har vi alt på ett sted
http://matematikk.net/side/R2_2013_v%C3 ... C3%98SNING

Her er oppgaven som pdf: http://matematikk.net/ressurser/eksamen/R2/R2_V13.pdf

JE

[Nebuchadnezzar]

Velger å heller legge den inn her, siden jeg ikke klarer å legge til flere deloppgaver på siden...

[Eksamen V13] - REA3024 - Matematikk R2


Del I


Oppgave 1

a) $ \displaystyle f'(x) = - 3 \cos x$

b) $ \displaystyle g'(x) = 6\pi \cos(\pi x)$

c) $ \displaystyle h'(x) = 3 \left[ 2 \sin(3x) + 3 \cos(3x) \right] e^{2x}$


Oppgave 2

a) La $u = x^2 - 4$ da er $\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x$ slik at

$ \displaystyle
\int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x
= \int \frac{\mathrm{d}u}{u}
= \ln|u| +\mathcal{C}
= \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C}
$

b) Legg merke til at

$\displaystyle
\frac{2x}{x^2-4}
= \frac{x + x}{(x-2)(x+2)}
= \frac{(x-2) + (x+2)}{(x-2)(x+2)}
= \frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)}
= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2}
$

slik at vi kan skrive integralet som

$ \displaystyle
\int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x
= \int \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} \, \mathrm{d}x
= \ln \left| x + 2 \right| + \ln\left| x - 2\right| + \mathcal{C}
= \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C}
$

som ønsket.





Oppgave 3

a)

$\vec{AB} = (2,2,0)$ og $\vec{AC} = (-1,1,0)$ slik at $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-1,-1,4)$.

Arealet blir da følgelig

$ \displaystyle
A = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|
= \frac{1}{2} \sqrt{ (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 }
= \frac{3}{2} \sqrt{2}
$

a)

$
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 0
= 0
$

Arealet blir da følgelig

$\displaystyle
A = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AC} \right|
= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2}
= \frac{3}{2} \sqrt{2}
$

som før.


Oppgave 4

$ \displaystyle
\begin{align*}
y' & = 6x y \\
\frac{1}{y} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} & = 6 x \\
\int \frac{\mathrm{d}y}{y} & = \int 6x \mathrm{d}x \\
\ln |y| & = 3 x^2 + \mathcal{C}_1 \\
y & = \pm \mathcal{C}e^{3x^2}
\end{align*}
$
Grensebetingelense gir at $y(0) = C$ og $y(0) = 2$ så $C$ = 2. Her må $C$ være positiv, siden ellers løser den ikke
den opprinnelige differensiallikningen ($y' = 6x \cdot y$)..


Oppgave 5

a)

Bare å telle videre $a_{16} = 31$.
Bare å summere alle leddene $S_{16} = 16^2 = 256$.

b)

Geometrisk og pen og alt det der

$a_n = 2n - 1$ og $S_n = n^2$.

c)

$S_n > 400 $ som er det samme som $n^2 > 400$ slik at $n>20$.


Oppgave 6




Oppgave 7

La $V(n) = a + ak+ \ldots + a k^{n-1}$ og $\displaystyle H(n) = a \cdot \frac{k^n-1}{k-1}$.

$V(1) = a \cdot k^{1-1} = a$ og $\displaystyle H(1) = a \cdot \frac{k^1-1}{k-1} = a$.

Formelen stemmer altså for $n=1$. Anta at formelen holder for $n = m$. Altså at $V(m) = H(m)$ stemmer, for en eller annen $m$.
Ønsker da å vise at dette medfører at $V(m+1) = H(m + 1)$. Utregning av $V(m + 1)$ gir

$ \displaystyle
\begin{align*}
V(m+1) & = V(m) + a k^{m} \\
& = \left( a + ak + ak^2 + \ldots + a k^{m-1} \right) + a k^{m} \\
& = H(m) + a k^{m} \\
& = a \cdot \frac{k^{m} - 1}{k - 1} + a k^{m} \\
& = a \cdot \frac{k^{m} - 1 + (k - 1) \cdot k^{m} }{k - 1} \\
& = a \cdot \frac{k \cdot k^{m} - 1 }{k - 1} \\
& = a \cdot \frac{k^{m + 1} - 1}{k - 1}
\end{align*}
$
Regner vi ut $H(m+1)$ ser vi raskt at $ \displaystyle H(m + 1) = a \cdot \frac{k^{m + 1} - 1}{k - 1} $. og resten følger ved induksjon.


Del II

Oppgave 1

a) Forandringen av medisin mengen vil være gitt som den totale mengden, minus hvor mye som går ut av kroppen etter hver time.
Altså $y' = y(0) + \Delta y$, her er $y(0) = 8$, og $\Delta y = 0.05 y$.

b)

Keisamt

$ \displaystyle
\begin{align*}
y' & = 8 - \frac{1}{20} y \\
20 y' & = - (y - 160) \\
\int \frac{\mathrm{d}y}{y - 160} & = - \frac{1}{20} \mathrm{d}t \\
\ln \left| y - 160 \right| & = - \frac{t}{20} + \mathcal{C}_1 \\
y & = \mathcal{C} e^{-\frac{t}{20}} + 160
\end{align*}
$

Eventuelt funker og å bruke integrerende faktor. Ser at $y(0) = C$, slik at $C=160$.

c)

Legg merke til at $e^{-a} = 1/e^a$, slik at når $a$ vokser går $e^{-a}$ mot null for alle positive a. Slik at

$\lim_{t \to \infty} y = 160$

Den praktiske betydningen av dette er at mengden medisin i kroppen stabiliserer seg på $160$ gram. (Da er $y'=0$).
Slik at det går like mye medisin inn i kroppen som ut.


Oppgave 2

a) KJEEEEEEDELIG



b)

$
f(x) =12 e^{-x/2} \cdot \sin(x/2)
$. Derivasjon gir oss

$
f'(x) = -6\frac{1}{2} e^{-x/2}\cdot \big( \sin(x/2) - \cos(x/2) \big)
$

Løser vi denne likningen fås

$\tan(x/2) = 1$, som har løsninger $x/2 = \pi n + \pi /4$

Slik at løsningene blir $x = 0$, $x= \pi/2$ og $x = 5\pi/2$ og $\pi/4$.

Hvor $x=0$ og $x=4\pi$ er lokale bunnpunkt, mens $x=\pi/2$ er toppunkt og $x=5\pi/2$ er bunnpunkt.

$(0,0)$ , $(\pi/2,3.8687)$, $(5\pi/2,-0.16718)$ og $(4\pi,0)$.

Tegning av fortegnskjema + figur viser dette greit..

c)

Funksjonen er positiv frem til $x=2\pi$, siden $\sin(\pi)=0$ og $\sin(0)=0$.
Videre så er funksjonen negativ fra $x=2\pi$ til $x=4\pi$
Så det toalet arealet avgrenset av $x$-aksen og funksjonen er

$ \displaystyle
\begin{align*}
I & = \int_0^{4\pi} \big| f(x) \big| \, \mathrm{d}x \\
& = \int_0^{2\pi} f(x) \, \mathrm{d}x - \int_{2\pi}^{4\pi} f(x) \, \mathrm{d}x \\
& = \int_0^{2\pi} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{2\pi} e^{-\pi} f(x) \, \mathrm{d}x \\
& = 12 \left( 1+e^{-\pi} \right) \int_0^{2\pi} e^{-x/2} \sin(x/2) \, \mathrm{d}x \\
& = 24 \left( 1+e^{-\pi} \right) \int_0^{\pi} e^{-u} \sin u \, \mathrm{d}u \\
& = 24 \left( 1+e^{-\pi} \right) \left[ \frac{1}{2}e^{-u} \left( \cos u + \sin u\right) \right]_{\pi}^0 \\
& = 12 \left( 1+e^{-\pi} \right) \left[ e^{0}( 1 + 0) - e^{-\pi}(-1+ 0) \right] \\
& = 12 \left( 1+e^{-\pi} \right) \left( 1 + e^{-\pi} \right) \\
& = 12 \left( 1 + e^{-\pi/2} \right)^2
\approx 13.05954335
\end{align*}
$

Brukte så substitusjonen $u = x/2$, også formel. For å se den andre overgangen brukes det at $\sin x$ er periodisk, med substitusjonen $u = x - 2\pi$ hvor $\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$

$ \displaystyle
I \int_{2\pi}^{4\pi} e^{-x/2} \sin(x/2) \, \mathrm{d}x
= \int_{2\pi-2\pi}^{4\pi-2\pi} e^{-\pi-u/2} \sin\left( \frac{u}{2} + \pi\right) \, \mathrm{d}u
= - e^{-\pi} \int_0^{2\pi} e^{-u/2} \sin(u/2) \, \mathrm{d}u
= - e^{-\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, \mathrm{d}x
$

Hvorfor $ \displaystyle \sin\left( \frac{u}{2} + \pi\right) = - \sin\left( \frac{u}{2} \right) $, kan du selv få finne ut av ved å bruke addisjonsformelen for sinus =)


Oppgave 3

a)

$AD = (-3,0,4)$ og $AB = (0,3,0)$, ser at $AD \cdot AB = 0$ slik at
arealet av sideflaten blir

$\triangle ABD = \frac{1}{2}|AD||AB| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7 + \frac{1}{2}$.

b)

Normalvektoren til planet er blir $AB \times AC = [12,0,9] = [4,0,3]$, slik at likningen for planet blir

$
4(x-3) + 0(y-0) + 3(z-0) = 4x + 3z - 12
$

som ønsket.

c)

Korteste avstand fra origo til et plan, vil være ei linje som er paralell med normalvektoren. Altså linja

$
l(t) = (0,0,0) + (4,0,3)t
$

Setter vi denne likningen inn i planlikningen og løser fås

$
4(4t) + 3(3t) - 12 = 0 \rightarrow t
= 12/25
$.

Insatt fås altså at korteste avstand blir

$ \displaystyle
d = \sqrt{ \left( 4 \cdot \frac{12}{25} \right)^2 + 0^2 +\left( 3 \cdot \frac{12}{25} \right)^2 }
= 12/5
$

Eventuelt bruk punkt plan formelen.

$ \displaystyle
\begin{align*}
d & = \frac{ a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z + d }{ \sqrt{ a^2 + b^2 + c^2 } } \\
& = \frac{ \left| 3 \cdot 0 + 0 + 4 \cdot 4 - 12 \right| }{ \sqrt{ 3^2 + 0^2 + 4^2 } } \\
& = \frac{12}{5}
\end{align*}
$

samme som før.

c)

Normalvektorene kan skrives som $n_1 = (4,0,3)$ og $n_2=(4,3,0)$ slik at

$ \displaystyle
\cos \theta
= \frac{n_1 \cdot n_2}{ \left| n_1 \right| \cdot \left| n_2 \right| }
= \frac{9}{25}
$

Slik at

$ \displaystyle
\theta = \arccos \left( \frac{9}{25} \right)
\approx 68.89980395
$

Stemmer ikke med tegningen min hvor jeg får $55.55$.. Men er sikkert noen som klarer og oppdage feilen min.



Oppgave 4

a)

$y$ koordinaten til $C$ vil være den samme som til $A$, slik at
$2^2 + y^2 = 3^2 \Rightarrow y = \sqrt{5}$, da avstanden må være positiv.

$y(x) = \frac{\sqrt{5}}{2}x + b$, siden funksjonen går igjennom origo er $b=0$. Og stigningstallet var $a = (y_1-y_0)/(x_1-x_0) = y_1/x_1$.

b)

$ \displaystyle
\begin{align*}
F_1 = \pi \int_0^2 \left( \frac{ \sqrt{5}}{2} x \right)^2 \mathrm{d}x
= \pi \left[ \frac{25}{12} x^3 \right]_0^2
= \frac{ 10 \pi }{ 3 }
\end{align*}
$

c)

Tilsvarende som i b) fås

$ \displaystyle
\begin{align*}
F_1 & = \pi \int_2^3 \left( \sqrt{ 9 - x^2 } \right)^2 \mathrm{d}x \\
& = \pi \left[ \frac{x}{3} \left( 27 - x^2 \right) x^3 \right]_2^3 \\
& = \frac{3}{3} \left( 18 \right) - \frac{2}{3} \left( 23 \right) \\
& = \frac{54 - 46}{3} \pi
= \frac{ 8 \pi }{ 3 }
\end{align*}
$



Oppgave 5

a)

Omkretsen er alle sidene lagt sammen, og siden vi
har et rektangl er omkretsen gitt som

$
O = 2x + 2y
= 2 D \cos v + 2 D \sin v
$.

Hvor en benyttet seg av definisjonen av cosinus og sinus.
$\cos v = x/D$ og $\sin v = y/D$

Tilsvarende så er

$
A(v) = \cdot x \cdot y
= D^2 \cos v \cdot \sin v
= \frac{1}{2} D^2 \sin (2v)
$

b)

Derivasjon gir enkelt og greit at

$ \displaystyle
O(x) = 2D \cdot \cos v - 2D \cdot \sin v
= 2x - 2y
$

Herfra ser vi at $O'(x)$ er null når $x=y$, altså når rektangelet er et kvadrat.
Dette kan ikke være et bunnpunkt som en kan se fra en fin fortegnslinje.

Maks areal blir dermed

$
O(x) = 2 D \cos 45 + 2 D \sin 45
= 2 \sqrt{2} D
$.

Hvor en brukte at de indre vinklene i et kvadrat er $90$ grader slik at diagonalene kutter disse i to og følgelig er
$v = 45$ grader. Dette kan og vises ved å løse $O'(x) =0$.

c)

Ser at

$A'(x) = - D^2 \cos 2v$, som er null når $v=\pi/4 = 45^\circ$, altså når vi har et kvadrat. En kan da og sette inn og se at $x = y$.

$
A(x) = \frac{1}{2} D^2 \sin (2v)
$
Denne er maksimal når $\sin(2v)$ er maksimal som er $1$. Da er
$A(x) = \frac{1}{2} D^2 $, eventuelt bruker en at $\sin(2 \cdot \pi/4) = 1$.


Oppgave 6

a)

Legg merke til at rekken er geometrisk og at

$\displaystyle d = \frac{3}{4}$

(Husk at du må sjekke alle leddene her)

Siden rekken er geometrisk og $d = 3/4 < 1$ så konvergerer rekken.
Slik at summen av rekken blir dermed

$ \displaystyle
S = A \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{4}}
= 4 A
$.

a)

Ved å øke antall trekanter (gå til neste figur), halveres sidelengden i trekanten hver gang. Slik at

$
O_2 = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2}
= \frac{3}{2} a
$
Siden det er tre av disse trekantene må vi gange med $3$ og får da $9a/2$.

For hver gang halverer vi sidekantene og ganger antall trekanter med $3$, slik at i trekant $n$ har vi

$ \displaystyle
\begin{align*}
O_n & = 3^n \left( \frac{a}{2^n} + \frac{a}{2^n} + \frac{a}{2^n} \right) \\
& = 3 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^n \cdot a
\end{align*}
$

Merk at siden $3>2$ så vil $3^n$ øke raskeren enn $2^n$ slik at når $n$ øker vil $(3/2)^n$ gå mot uendelig. Konklusjonen blir dermed at
$O_n \to \infty$ når $n\to \infty$.

Dette forteller at selv om arealet av Sierpiński-trekanten er endelig, er ikke omkretsen av den endelig!

Dette er en oppgave i samme gate som http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn =)

[Vaktmester]

Velger å heller legge den inn her, siden jeg ikke klarer å legge til flere deloppgaver på siden...

Jeg vil gjette meg til at problemet er med fnutter (') og dollartegn. Hvis man passer på å bruke <math> tagger istedenfor dollartegn der man driver med derivasjon...

Håper det er greit at jeg kopierer løsningen din inn i wikien etter hvert.. :)

[Vaktmester]

Vil bare legge til noe mindre relevant her.
Den siste uka har jeg ikke fått tilgang til andre sider på matematikk.net enn http://www.matematikk.net/side/matteprat.
Hver gang blir jeg sendt dit og kan ikke komme til andre sider som eksamensoppgaver eller hovedsiden, bare matte prat og andre skriveforumer.
Kan noen forklare meg det? :D

For å si det på godt dansk, matematikk.net hadde trigonometri i computeren i helga. En database hadde slått seg vrang og trengte å restartes - det tok 2 sekunder å fikse da jeg fikk snakke med support hos de vi leier webplass av...

Edit: Glemte at K.U.K. blir endret til trigonometri...

[mikki155]

Alt rett på del 1, hvert fall, men mulig jeg gjorde en liten regnetabbe på oppg. 4 c) del 2. Får se når Nebbu har regnet ut :p

[svangstu]

A(1,-1,0) og B(3,1,1) gir AB vektor [2,2,1] ikke [2,2,0] på oppgave 3.

[morti]

Blir ikke 1c


[tex]6*e^{2x}*sin(3x) + 9*e^{2x}*cos(3x)[/tex]

??

[Janhaa]

Alt rett på del 1, hvert fall, men mulig jeg gjorde en liten regnetabbe på oppg. 4 c) del 2. Får se når Nebbu har regnet ut :p

oppg 4 c) del 2 er en kulekalott, hvis volum er:

[tex]V=\large \pi\int_2^3(9-x^2)\,dx={8\over 3}\pi[/tex]

mener jeg...

[Janhaa]

Blir ikke 1c [tex][tex][/tex]6*e^{2x}*sin(3x) + 9*e^{2x}*cos(3x)[/tex??

jo...