Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

[alexleta]

Texas Hold'em Poker er en populær versjon av poker.
Spillet starter med at hver spiller får utdelt to kort fra en vanlig kortstokk.
Så følger det en runde der spillerne gjør sin innsats.
Deretter blir tre kort lagt åpent på bordet.
Spillerne kan kombinere de to kortene de har på hånden med de tre kortene på bordet for å få en så god "pokerhånd" som mulig.
Spillet fortsetter så med nye runder der spillerne kan øke innsatsen, og der flere kort blir lagt på bordet.

Vi tar for oss situasjonen i starten av spillet, og ser på en spiller som har fått utdelt kløver ti og ruter ti. Det blir så lagt tre kort åpent på bordet.
Hva er sannsynligheten for at de tre kortene sammen med de to kortene spilleren har på hånden, gir:

c) Tre like (dvs. tre kort med en verdi og de to andre med hver sin andre verdi)

Kommet fram til dette, men er feil:
[tex](2C1*(48C2-12*4C2))/(50C3)[/tex]

Takk for hjelp!

[2357]

Hvorfor trekker du fra [tex]12 \times {4 \choose 2}[/tex]?

[EirFyh]

For å løse denne oppgaven må du finne sannsynligheten for at ett av kortene på bordet er 10. For å finne dette har du to mulige fremgangsmåter som jeg kan komme på. Det første er hypergeometrisk fordeling, som er det du har begynt på.

Du har faktisk gjort helt riktig, bortsett fra att du har subtrahert 12*4C2 av en eller annen grunn? Du får riktig svar dersom du ikke gjør dette.

Riktig svar blir altså:

[tex](2C1*48C2)/50C3 = 141/1225 = 11,5%[/tex]

Du kan eventuelt også løse det ved å multiplisere sannsynligheten for at det første kortet er 10, med sannsynligheten for at det andre og det tredje ikke er 10, og deretter multiplisere dette med 3. Du multipliserer med 3 fordi du kan få 10, i det første, det andre og det tredje.

Da får du:

[tex](2/50)*(48/49)*(47/48)*3 = 141/1225 = 11,5%[/tex]

[alexleta]

Trakk fra 12*4C2 fordi det er måtene som gir to like kort. Siden det er 4 kort for hver verdi, så må 48C2 gi noen like kort...men si ifra hvis jeg har tenkt feil.

I fasiten er svaret 10,8 %.

[EirFyh]

Godt poeng. Tenkte ikke på at de to andre kortene ikke kunne være like.
Isåfall kan du løse det på denne måten:

[tex](2/50)*(48/49)*(44/48)*3 = 132/1225 = 10,8%[/tex]

Her multipliserer jeg med 44/48 fordi det er 44 kort som har en annen verdi enn 10 og kort nummer 2.

[alexleta]

Hvorfor multiplisere med 3? Men er det mulig å løse denne med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell?

[EirFyh]

Hvorfor multiplisere med 3? Men er det mulig å løse denne med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell?

Man multipliserer med tre fordi kortet kan komme enten som det første, det andre eller det tredje kortet på bordet. Det blir det samme som å skrive det på denne måten:

P(10 som første) = (2/50)*(48/49)*(44/48)
P(10 som andre) = (48/49)*(2/50)*(44/48)
P(10 som tredje) = (48/49)*(44/48)*(2/50)


Legger vi disse sammen får vi sannsynligheten for å få 10 som første, andre eller tredje.

Hypergeometrisk fungerer bare når det er 2 mulige utfall. Vi kunne funnet sannsynligheten dersom vi bare sa at vi hadde utfallene "10" og "ikke-10". Med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell kan vi altså finne sannsyligheten for å få 1, 2 eller 3 tiere, men vi kan ikke finne sannsynligheten for å få 1 tier og to ulike.

Hypergeometrisk fungerer med andre ord ikke når man har flere enn 2 mulige utfall, slik som i dette tilfellet.

[ettam]

Hypergeometrisk fungerer bare når det er 2 mulige utfall.

Tror du tenker på binomisk forsøk her.

[alexleta]

Hvorfor multiplisere med 3? Men er det mulig å løse denne med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell?

Man multipliserer med tre fordi kortet kan komme enten som det første, det andre eller det tredje kortet på bordet. Det blir det samme som å skrive det på denne måten:

P(10 som første) = (2/50)*(48/49)*(44/48)
P(10 som andre) = (48/49)*(2/50)*(44/48)
P(10 som tredje) = (48/49)*(44/48)*(2/50)


Legger vi disse sammen får vi sannsynligheten for å få 10 som første, andre eller tredje.

Hypergeometrisk fungerer bare når det er 2 mulige utfall. Vi kunne funnet sannsynligheten dersom vi bare sa at vi hadde utfallene "10" og "ikke-10". Med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell kan vi altså finne sannsyligheten for å få 1, 2 eller 3 tiere, men vi kan ikke finne sannsynligheten for å få 1 tier og to ulike.

Hypergeometrisk fungerer med andre ord ikke når man har flere enn 2 mulige utfall, slik som i dette tilfellet.

Ok, så det er ingen grunn til å tenke på måtene man får de andre tilfeldige kortene på?

[EirFyh]

EirFyh skrev:
Hypergeometrisk fungerer bare når det er 2 mulige utfall.

Tror du tenker på binomisk forsøk her.

Nei, men du har rett, binomsik fungerer også bare når du har 2 mulige utfall. Forskjellen på binomisk og hypergeometrisk er at binomisk gjelder når det er uavhengige forsøk, menst hypergeometrisk gjelder når de er avhengige. Begge kan bare ha 2 mulige utfall. Man sier gjerne at de to utfallene er "suksess" eller "ikke suksess". Det viktige at de to hendelsene er komplimentære.

Her er et sitat fra wikipedia som gir en kort forklaring på hypergeometrisk fordeling (du kan lese mer på http://no.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrisk_fordeling):

"Den beskriver sannsynligheten for antall "suksesser" i en sekvens av n trekninger fra en endelig populasjon uten tilbakelegging, akkurat som binomisk fordeling er antall suksesser med tilbakelegging."

EDIT: det er lett å misforstå når jeg sier utfall. Det kan selvfølgelig være flere variabler, slik som i dette eksempelet:

"Anta at det nå er 8 hvite, 10 svarte og 12 gule kuler i krukken,
og vi skal trekke ut 5 kuler. Hva er sannsynligheten for at vi trekker 2 hvite, 3 svarte og ingen gule?"

Det jeg mente var at eksempelet ikke hadde vært gyldig dersom en av kulene var både sort og gul.

[EirFyh]

Ok, så det er ingen grunn til å tenke på måtene man får de andre tilfeldige kortene på?

Nei, for det blir det samme. Rekkefølgen de to andre kortene kommer i er uten betydning. Vi har nemlig regnet ut hva sannsynligheten for å få et hvilket som helst kort annet enn 10, og deretter trekke et hvilket som helst annet kort enn 10 og det forrige.

Det er lettere å illustrere med et eksempel.
La si vi skal regne sannsynligheten for å trekke kulene som er nummerert 1 og 2 fra en bolle med 10 kuler som alle er nummerert fra 1 til 10. Dette kan vi gjøre på to forskjellige måter:

*Vi kan regne sannsynligheten for å trekke kule nummer en, multiplisere det med sannsynligheten for å trekke kule nummer 2, og deretter multiplisere det med de forskjellige måtene vi kan trekke de på (vi har 2 mulige måter, vi kan enten trekke nummer 1 først og deretter nummer 2, eller vi kan trekke 2 først og deretter 1). Da får vi en slik utregning:

[tex](1/10)*(1/10)*2 = 2/100[/tex]
sannsynlighet for nr.1 * Sannsynlighet for nr. 2 * mulige måter

*Eller vi kan først regne sannsynligheten for å trekke en hvilken som helst av de 2 kulene, og deretter multiplisere det med sannsynligheten for å trekke den gjenværende. Da får vi en slik utregning:

[tex](2/10)*(1/10) = 2/100[/tex]
Sannsynlighet for en av de to * sannsynlighet for den gjennværende

[claves]

Du kan regne ut denne ved hjelp av binomialkoeffisienter slik som dette:

[tex]\frac{{2 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 1}{4 \choose 1}}{50 \choose 3}[/tex]

Da tenker jeg på følgende måte når jeg setter opp uttrykket for antall gunstige utfall:
Velg først en av de to gjenværende tierne. Velg deretter to forskjellige av de 12 gjenværende typene kort (toere, treere, damer, konger osv.), velg så ett kort av hver av disse typene.
Muligens ikke noe enklere, men det ligger ihvertfall tettere opp til den fremgangsmåten som ble brukt i utgangspunktet.