Sitter å forbereder meg til privatisteksamen i R2 nå i juni, men sliter litt med prinsippene på utregning av topp- og bunnpunkt. Har skjønt det sånn at jeg må ta utgangspunkt i den deriverte, men der strander jeg.
f(x) = 4 sin(1,5x+0,8)+2 x£r
Er ikke kjempestødig på derivering, men vi prøver:
f(x)' = 4*cos u * u' = 4*cos u*1,5 = 6cos(1,5x+0,8)
Vi skal så ta utgangspunkt i f(x)'= 0
6cos(1,5x+0,8) = 0
Hva gjør jeg herfra? Jeg vet at jeg må få et eller annet tall over på høyresiden (s), for så å dele på 6. Deretter cos^-1 for å få cos bort fra venstresiden.
Deretter står jeg igjen med 1,5x+0,8= cos^1s/6
Setter inn 2pi*k, flytter over 0,8. Til slutt må jeg dele på 1,5 for å få x alene.
Men hvilket tall er det jeg tar utgangspunkt i, og setter inn som s?
[/quote]
Regne ut topp- og bunnpunkt på sinusfunksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Fibonacci
- Innlegg: 3
- Registrert: 18/05-2012 04:07
...og x setter så inn x i f(x) for å regne ut y-koordinaten...
Når jeg har funnet toppunkt, hvordan finner jeg bunnpunkt?
Når jeg har funnet toppunkt, hvordan finner jeg bunnpunkt?
Du har tenkt stort sett riktig, men jeg skjønner ikke hvorfor du blander inn s. Grunnen til at du finner topp/bunn-punkt på denne måten er jo fordi at i et slikt punkt vil tangenten være horisontal og det skjer kun når stigningstallet til linjen er 0. Og som du sikkert vet er stigningstallet lik den deriverte så dermed er f'=0 i alle topp/bunn-punkt.
Du har f'=6cos(1.5x+0.8)=0. Istedenfor å innføre en ny variabel s så kan du bare bruke det slik det står. Del på 6, det gir cos(1.5x+0.8)=0, finn cos[sup]-1[/sup]0 og sett det lik 1.5x+0.8. Etter det er det rein plankekjøring.
For å sjekke om det er topp eller bunnpunkt setter du inn verdiene du finner i den opprinnelige ligningen og sjekker hvilke y-verdier du får. Husk og å sjekke endepunktene siden det kan være topp/bunn-punktene er der, men i dette tilfellet er det jo ingen endepunkter. Men viktig å huske på.
Du har f'=6cos(1.5x+0.8)=0. Istedenfor å innføre en ny variabel s så kan du bare bruke det slik det står. Del på 6, det gir cos(1.5x+0.8)=0, finn cos[sup]-1[/sup]0 og sett det lik 1.5x+0.8. Etter det er det rein plankekjøring.
For å sjekke om det er topp eller bunnpunkt setter du inn verdiene du finner i den opprinnelige ligningen og sjekker hvilke y-verdier du får. Husk og å sjekke endepunktene siden det kan være topp/bunn-punktene er der, men i dette tilfellet er det jo ingen endepunkter. Men viktig å huske på.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 3
- Registrert: 18/05-2012 04:07
Aah, selvfølgelgi! Ja, glem den nye variabelen min, nå skjønner jeg. cos^0 er jo 1,57 (0,5pi), at jeg ikke tenkte på det!
Tusen takk skal du ha
Tusen takk skal du ha
(Jeg skrev denne posten før trådstarter svarte, men glemte å poste den. Tenkte jeg likevel kan poste den som litt tilleggsinformasjon.)
I notatboka mi, laget jeg meg en oversikt over dette da jeg hadde R1.
[tex]f(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{nullpunkter (der f krysser x-aksen)}[/tex]
[tex]f^\prime(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{gir kandidater til stasjonaere punkter, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{vendepunktkandidater, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^{\prime\prime}[/tex]
Ettersom det er stasjonære punkter du er ute etter, må du sette [tex]f^\prime(x) = 0[/tex]. For å kunne gjøre det, må du først finne [tex]f^\prime(x)[/tex], noe du har gjort helt fint.
[tex]f^\prime(x) = 6\cos(1.5x + 0.8)[/tex]
Setter [tex]f^\prime(x) = 0[/tex].
[tex]6\cos(1.5x + 0.8) = 0[/tex]
[tex]\frac{\cancel{6}\cos(1.5x + 0.8)}{\cancel{6}} = \frac{0}{6}[/tex]
[tex]1.5x + 0.8 = \cos^{-1}(0)[/tex]
[tex]1.5x = \frac{\pi}{2} - 0.8[/tex]
[tex]\frac{\cancel{1.5}x}{\cancel{1.5}} = \frac{\frac{\pi}{2} - 0.8}{1.5}[/tex]
[tex]\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3}}[/tex] (x-koordinaten til første toppunkt med positiv x-koordinat.)
La x[sub]2[/sub] være x-koordinaten til første bunnpunkt med positiv x-koordinat.
[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{p}{2}[/tex], der p er perioden.
[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{2\pi}{3}[/tex]
[tex]\underline{x_2 = \frac{3\pi - 1.6}{3}}[/tex]
Første toppunkt på den positive delen av x-aksen:
[tex]f(x) = 4sin(1.5x + 0.8) + 2[/tex]
[tex]f \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline 6 \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{\pi - 1.6}{3} \, , \, 6 \right)}[/tex]
Første bunnpunkt på den positive delen av x-aksen:
[tex]f(x_2) = 4sin(1.5x_2 + 0.8) + 2[/tex]
[tex]f \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline{-2} \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \, , \, -2 \right)}[/tex]
[tex]\underline{\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad \mathrm{v} \qquad \frac{3\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]
I notatboka mi, laget jeg meg en oversikt over dette da jeg hadde R1.
[tex]f(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{nullpunkter (der f krysser x-aksen)}[/tex]
[tex]f^\prime(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{gir kandidater til stasjonaere punkter, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(x) = 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{vendepunktkandidater, avgjoeres ved fortegnsskjema for} f^{\prime\prime}[/tex]
Ettersom det er stasjonære punkter du er ute etter, må du sette [tex]f^\prime(x) = 0[/tex]. For å kunne gjøre det, må du først finne [tex]f^\prime(x)[/tex], noe du har gjort helt fint.
[tex]f^\prime(x) = 6\cos(1.5x + 0.8)[/tex]
Setter [tex]f^\prime(x) = 0[/tex].
[tex]6\cos(1.5x + 0.8) = 0[/tex]
[tex]\frac{\cancel{6}\cos(1.5x + 0.8)}{\cancel{6}} = \frac{0}{6}[/tex]
[tex]1.5x + 0.8 = \cos^{-1}(0)[/tex]
[tex]1.5x = \frac{\pi}{2} - 0.8[/tex]
[tex]\frac{\cancel{1.5}x}{\cancel{1.5}} = \frac{\frac{\pi}{2} - 0.8}{1.5}[/tex]
[tex]\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3}}[/tex] (x-koordinaten til første toppunkt med positiv x-koordinat.)
La x[sub]2[/sub] være x-koordinaten til første bunnpunkt med positiv x-koordinat.
[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{p}{2}[/tex], der p er perioden.
[tex]x_2 = \frac{\pi - 1.6}{3} + \frac{2\pi}{3}[/tex]
[tex]\underline{x_2 = \frac{3\pi - 1.6}{3}}[/tex]
Første toppunkt på den positive delen av x-aksen:
[tex]f(x) = 4sin(1.5x + 0.8) + 2[/tex]
[tex]f \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline 6 \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{\pi - 1.6}{3} \, , \, 6 \right)}[/tex]
Første bunnpunkt på den positive delen av x-aksen:
[tex]f(x_2) = 4sin(1.5x_2 + 0.8) + 2[/tex]
[tex]f \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) = 4sin(1.5 \left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \right) + 0.8) + 2 = \underline{-2} \qquad \rightarrow \qquad \underline{\left(\frac{3\pi - 1.6}{3} \, , \, -2 \right)}[/tex]
[tex]\underline{\underline{x = \frac{\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad \mathrm{v} \qquad \frac{3\pi - 1.6}{3} + n \cdot \frac{4\pi}{3} \qquad , \qquad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]