Mer sannsynlighet (Hypergeometrisk)

[Andrederivert]

Bak i R1-boka mi er det flere tidligere eksamensoppgaver i sannsynlighet. En av dem får jeg ikke til, og den lyder slik:

Et idrettslag har laget et spill de kaller MINILOTTO. Når en spiller MINILOTTO, merker en av 4 tall fra og med 1 til og med 9. Premiene beregnes ved at en trekker ut 4 vinnertall og 2 tilleggstall. Følgende uttrekk gir gevinst:
1. premie: En spiller har 4 rette vinnertall.
2. premie: En spiller har 3 rette vinnertall og 1 tilleggstall.
3. premie: En spiller har 3 rette vinnertall.
4. premie: En spiller har 2 rette vinnertall og minst 1 tilleggstall.

a) Vis at sannsynligheten for å vinne 1. premie i MINILOTTO er 0,00794.

Denne fikk jeg til. Antall uordnede utvalg er [tex]{9 \choose 4}[/tex]. Og siden det bare er én gunstig løsning, må jo sannsynligheten være [tex]\frac{1}{126}=0,00794[/tex]

Men hva gjør jeg på disse?:

b) Regn ut sannsynligheten for å vinne 3. premie.
c) Hva er sannsynligheten for å få 2. premie?
d) Finn sannsynligheten for å 4. premie.

[sirins]

Hypergeometrisk fordeling:

[tex]P(X=x)=\frac{{M \choose x} \cdot {(N-M) \choose (n-x)}}{N \choose n}[/tex]

N = antall mulige tall
M = antall gunstige tall (vinnertall)
n = antall av tall i utvalg
x = antall vinnertall i utvalg

[Andrederivert]

Hypergeometrisk fordeling:

[tex]P(X=x)=\frac{{M \choose x} \cdot {(N-M) \choose (n-x)}}{N \choose n}[/tex]

N = antall mulige tall
M = antall gunstige tall (vinnertall)
n = antall av tall i utvalg
x = antall vinnertall i utvalg

Dersom jeg tar utgangspunkt i b), så burde jeg få

N = 9
M = 4
n = 4
x = 3

Det gir
[tex]P(3 vinnertall))=\frac{{4 \choose 3} \cdot {(9-4) \choose (4-3)}}{9 \choose 4} = \frac{{4 \choose 3} \cdot {5 \choose 1}}{9 \choose 4}=\frac{20}{126}=0,159[/tex]

Men fasiten bak i boka sier at sannsynligheten er 0,0952 - det samme som [tex]\frac{12}{126}[/tex]. Hva er det jeg gjør feil?

[sirins]

Tja, det var et godt spørsmål..

Jeg mente da også at det ble 0,159. Beklager, jeg er visst på tur her..

[Gjest]

Dere glemte å ikke gi 3 premie til de som vant 2. premie, dere må tenke at det er tre grupper, vinnertall(4), tilleggstall(2) og tapere(3), derfor må dere ha tre uttrykk over brøkstreken, 3 av 4 vinnere, og 1 av 3 tapere, ikke 1 av 5 og tilslutt 0 av 2 tilleggstall (dette er = 1 men gjør det lettere å forstå)

[tex]\frac {{4 \choose 3} {3 \choose 1} {2 \choose 0} } {9 \choose 4}[/tex]

[sirins]

Aha, takk for oppklaringen!