Likning med 10^x

[krivol]

Trenger hjelp til denne likningen:

100^x - 3 * 10^x + 2 = 0

Takk

[sEirik]

[tex]100^x - 3 \cdot 10^x + 2 = 0[/tex]

Trikset er å se at [tex]100 = 10^2[/tex]

Vi vet at [tex](10^2)^x = (10^x)^2[/tex]

[tex](10^x)^2 - 3 \cdot 10^x + 2 = 0[/tex]

Vi sier [tex]u = 10^x[/tex]

[tex]u^2 - 3u + 2 = 0[/tex]

Bruker ABC-formel

[tex]u = \{2, 1\}[/tex]

Bytter tilbake

[tex]10^x = \{2, 1\}[/tex]

Vi går i gang med logaritmer. Bruker base 10.

[tex]x = \{\log 2, \log 1\}[/tex]

[tex]x = 0[/tex] eller [tex]x \approx 0,3[/tex]

[daofeishi]

[tex]100^x - 3 * 10^x + 2 = 0[/tex]
La[tex]z = 10^x[/tex]

[tex]z^2 -3z + 2 = (z-2)(z-1) = 0[/tex]
z = 1 eller z = 2

[tex]10^x = 1 \Rightarrow x = 0 \\ 10^x = 2 \Rightarrow x = \lg 2[/tex]

Edit: for seint ute der ja... En liten digresjon: Måtte ABC-formelen dø - ihvertfall når det er snakk om slike enkle polynomer som dette. Denne løses på 2 sekunder (ja, to små sekunder,) ved å faktorisere uttrykket i hodet.

[sEirik]

Denne løses på 2 sekunder (ja, to små sekunder,) ved å faktorisere uttrykket i hodet.

Og hva er teknikken?

[luringen]

Denne løses på 2 sekunder (ja, to små sekunder,) ved å faktorisere uttrykket i hodet.

Og hva er teknikken?

F.eks. se hva [tex]z[/tex] må være for at kjernene skal bli 0.

[sEirik]

[tex]10^x = 1 \Rightarrow x = 0 \\ 10^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2[/tex]

Bare en liten annen sak også. Mener du 10-logaritmen når du skriver ln her?

[daofeishi]

Denne løses på 2 sekunder (ja, to små sekunder,) ved å faktorisere uttrykket i hodet.

Og hva er teknikken?

F.eks. se hva [tex]z[/tex] må være for at kjernene skal bli 0.

Nå skal du se:

Gitt et generelt annengradspolynom [tex]ax^2 + bx + c[/tex] vet vi at det kan faktoriseres dersom diskriminanten [tex]b^2 - 4ac \geq 0[/tex]. Hvis uttrykket kan faktoriseres til et produkt av førstegradspolynomer med heltallige koeffisiener er sjansene store for at følgende teknikk funker:

Vi ønsker å omforme uttrykket slik: [tex]ax^2+bx + c = (px+q)(rx+s)[/tex]

La oss gå andre veien først:
[tex](px+q)(rx+s) = prx^2+(qr + ps)x + qs[/tex]

Altså:
[tex]a = pr[/tex]
[tex]b = qr + ps[/tex]
[tex]c = qs[/tex]

Legg merke til at [tex]a \cdot c = pqrs[/tex].
[tex]b = qr + ps[/tex]. Altså kan du reversere hele prosessen dersom du:
Finner 2 faktorer av ac som lagt sammen gir deg b.

La oss si at du har funnet dem. Da er det bare en KJAPP prøv-og-feil-prosess som mangler for å finne tilbake til [tex](px+q)(rx+s)[/tex]
Hvordan? Du har de to faktorene som lagt sammen gir deg b. Disse tallene er ps + qr. px er koeffisienten til x i 1. parentesen multiplisert med konstanten i 2. Tenk på det som YTRE PRODUKT.
qr er koeffisienten til x i 2. parentesen multiplisert med konstanten i 1. Tenk på det som INDRE PRODUKT. Resten viser jeg ved eksempel:

[tex]x^2 - 3x + 2[/tex]
ac = 1 * 2 = 2
Vi må finne to faktorer av 2 som lagt sammen gir oss -3.
Disse er -2 og -1. [(-2)(-1) = 2, (-2) + (-1) = (-3)]

Siden koeffisienten til x^2 er 1, kan vi se følgende:
[tex]x^2 - 3x + 2 = (px + q)(rx+s) = (x + q)(x + s)[/tex]
Du vet at enten er ytre produkt (-2) og indre produkt (-1), eller omvendt. Her ser du at det ikke har noe å si hva som er ytre produkt og hva som er indre, og du kan sette inn med en gang:
[tex]x^2 - 3x + 2 = (x + q)(x + s) = (x - 2)(x - 1)[/tex]
Med litt trening tar denne tankeprosessen deg maks 2-3 sekunder.

Jeg tar et par eksempler til:
[tex]x^2 - 4x - 5[/tex]
ac = 1 * (-5) = (-5)
Faktorer av -5 med sum -4: -5 og 1
Enten er ytre produkt -5 og indre 1, eller omvendt.
Prøv og feil:
[tex]x^2 - 4x - 5 = (x + q)(x + s) = (x - 5)(x + 1)[/tex]
Dermed, løsninger av [tex]x^2 - 4x - 5 = 0[/tex] er x = 5 eller x = (-1)

[tex]4x^2 + 4x - 3[/tex]
ac = (4) * (-3) = (-12)
Faktorer av -12 med sum 4: 6 og (-2)
Enten er ytre produkt 6 og indre -2, eller omvendt.
Prøv og feil:
[tex]4x^2 + 4x - 3 = (px + q)(rx + s) = (2x + q)(2x + s)[/tex]
[tex](2x + q)(2x + s) = (2x - 1)(2x + 3)[/tex] Noe som stemmer om vi sjekker etter

- Hva om vi hadde tenkt litt annerledes i begynnelsen?
[tex]4x^2 + 4x - 3 = (px + q)(rx + s) = (4x + q)(x + s)[/tex]
Vi tenker ytre produkt 6 og indre (-2), eller OMVENDT:
[tex]4x^2 + 4x - 3 = (4x + 6)(x - \frac{1}{2}) = [/tex] Noe som også viser seg å stemme, enkelt og greit fordi:
[tex] (2x - 1)(2x + 3) = 2(x-\frac{1}{2})(2x+3) = (4x + 6)(x - \frac{1}{2}) [/tex]

Løsningene for [tex]4x^2 + 4x - 3 = 0[/tex] blir: [tex] x = \frac{1}{2}[/tex] eller [tex] x = -\frac{3}{2}[/tex]

Alle løsinger funnet med denne metoden vil være ekvivalente på denne måten. Du utvikler fort en intuisjon for hvordan koeffisientene skal plasseres for at utrykket ser finest ut/gjør kalkulasjonene i hodet så fort at det ikke tar deg mer enn noen få strakser - MYE fortere enn med abc-formelen - tro meg! Dette er en uunværlig teknikk ved faktorisering og løsning av andreradslikninger - ikke la mattelærere gjøre deg avhengig av abc-formler og kalkuatorer. LÆR DEN!