Hei alle sammen!
Det går mot påske, en tid for skigåing og krim. Roald Øyen har introdusert påskenøtter på TV, derfor tenkte vi det kunne være på sin plass med en her...... Her er den!
Vi har en skålvekt. Dersom du ikke vet hva det er blir første del av nøtten å finne det ut.
Du har 12 kuler som alle ser helt like ut. 11 av kulene har samme masse. Den tolvte kulen har en masse forskjellig fra de 11 andre. Oppgaven går ut på å finne kulen som er forskjellig fra de andre. Det blir verre: du må kunne bestemme om kulen er lettere eller tyngre enn de 11 andre. Det blir enda verre: du må bestemme det med så få veiinger som mulig. Du arbeider i det private næringsliv og en veiing på skålvekten koster 100.000 kroner, det er en god motivasjon for å minimalisere antall veiinger.
Oppgaven er altså:
Finn det minste antall veiinger og bestem om kulen er lettere eller tyngre enn de andre. Det siste kravet fordrer en tankegang (resonnement) siden kulen selvfølgelig kan være begge deler. Siden vi er veldig snille kan vi fortelle at antall veiinger ikke er avhengig av om kulen er lettere eller tyngre enn de andre...
God Påske 8)
MVH
Kenneth Marthinsen
Påskenøtt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
administrator
- Sjef
- Innlegg: 883
- Registrert: 25/09-2002 21:23
- Sted: Sarpsborg
Sist redigert av administrator den 09/04-2004 22:20, redigert 1 gang totalt.
-
Einstein E=mc2
- Pytagoras
- Innlegg: 14
- Registrert: 19/06-2003 22:29
Skal vi berre svare i samme innlegget slik at alle ser svaret?
-
administrator
- Sjef
- Innlegg: 883
- Registrert: 25/09-2002 21:23
- Sted: Sarpsborg
Du kan jo vente til litt uti påsken..... 8)
MVH
Kenneth
-
administrator
- Sjef
- Innlegg: 883
- Registrert: 25/09-2002 21:23
- Sted: Sarpsborg
Hmm...
Har vært på en liten påskeferie avskåret fra nettet. Trodde jeg ville finne mange gode forslag til løsning på oppgaven, men folk har tydeligvis valgt ski og sol
framfor skålvekt og kuler... 
Noen forslag til løsning?
MVH
KM
Har vært på en liten påskeferie avskåret fra nettet. Trodde jeg ville finne mange gode forslag til løsning på oppgaven, men folk har tydeligvis valgt ski og sol
framfor skålvekt og kuler... Noen forslag til løsning?MVH
KM
-
Einstein E=mc2
- Pytagoras
- Innlegg: 14
- Registrert: 19/06-2003 22:29
Eg er ikkje heilt sikker på om dette er den riktige løysinga men...
Du må veie 4 gongar.
1. Begrense til 6 kuler:
Du plasserar 3 kuler på kvar side av skålvekta og målar:
Hvis sidene er like tunge må kula vere blandt dei 6 gjenverende kulene eller... Hvis sidene IKKJE er like tunge så må kula vere blandt dei 6 vi målte.
2. Finne ut om kula er lettare eller tyngre:
Du legger dei 6 kulene du målte sist på den eine sida, og dei andre på den andre sida. No veit du jo kva slags side den "falske" kula ligg på og kan bestemme om den er lettere eller tyngre enn dei andre.
3. Begrense til 2 kuler:
Du legger vekk dei 6 kulene du veit at den "falske" kula IKKJE befinner seg iblandt, og fordelar dei andre slik: 2 på den eine sida, 2 på den andre og 2 legg du på bordet. Du målar: Hvis sidene er like tunge må kula befinne seg iblandt de 2 som ligger på bordet. Hvis ikkje så veit du det fordi du veit om kula er lettere eller tyngre.
4. Finne kula:
Du har no bare to kuler igjen og kan lett måle ved å legge dei på skålvekta
Kanskje er det andre måtar som er bedre, men det får andre finne ut av.
Du må veie 4 gongar.
1. Begrense til 6 kuler:
Du plasserar 3 kuler på kvar side av skålvekta og målar:
Hvis sidene er like tunge må kula vere blandt dei 6 gjenverende kulene eller... Hvis sidene IKKJE er like tunge så må kula vere blandt dei 6 vi målte.
2. Finne ut om kula er lettare eller tyngre:
Du legger dei 6 kulene du målte sist på den eine sida, og dei andre på den andre sida. No veit du jo kva slags side den "falske" kula ligg på og kan bestemme om den er lettere eller tyngre enn dei andre.
3. Begrense til 2 kuler:
Du legger vekk dei 6 kulene du veit at den "falske" kula IKKJE befinner seg iblandt, og fordelar dei andre slik: 2 på den eine sida, 2 på den andre og 2 legg du på bordet. Du målar: Hvis sidene er like tunge må kula befinne seg iblandt de 2 som ligger på bordet. Hvis ikkje så veit du det fordi du veit om kula er lettere eller tyngre.
4. Finne kula:
Du har no bare to kuler igjen og kan lett måle ved å legge dei på skålvekta
Kanskje er det andre måtar som er bedre, men det får andre finne ut av.
-
administrator
- Sjef
- Innlegg: 883
- Registrert: 25/09-2002 21:23
- Sted: Sarpsborg
Vi ser fram til både løsning og bevis 
MVH
KM
MVH
KM
Bevis for at oppgaven ikke kan løses ved to veiinger:
Vi har 12 kuler, og dermed 24 ulike muligheter:
1. Kule nr 1 er lett
2. Kule nr 1 er tung
3. Kule nr 2 er lett
...
24. Kule nr 12 er tung
Ved hver veiing kan det maksimalt skje 3 ting:
A) Vekta tipper til høyre
B) Vekta blir stående på midten, likevekt
C) Vekta tipper til venstre
For å finne ut hvilket av tilfellene 1-24 vi har, kan vi følge en eller annen framgangsmåte. F.eks. kan vi ha gjort det slik at hvis vekta tipper til høyre i 1. veiing, og blir stående i likevekt i 2. veiing er det kule nr 7 som er lett.
Problemet med 2 veiinger er at vi maksimalt har 3*3 = 9 muligheter (Først A, så A, eller først A, så B osv.)
En hvilken som helst framgangsmåte med 2 veiinger kan ha maksimalt 9 ulike konklusjoner. Uansett hvor bra metoden vår er, blir dette rett og slett for lite for å skille mellom alle de 24 mulighetene.
Dermed skulle det være bevist at 2 veiinger er for lite. Håper det var forståelig...
En framgangsmåte med 3 veiinger har maksimalt 3*3*3 = 27 ulike konklusjoner. Dette beviser ikke at det er mulig å skille de 24 tilfellene med 3 veiinger, men vi kan i hvert fall gjøre et forsøk....
Vi har 12 kuler, og dermed 24 ulike muligheter:
1. Kule nr 1 er lett
2. Kule nr 1 er tung
3. Kule nr 2 er lett
...
24. Kule nr 12 er tung
Ved hver veiing kan det maksimalt skje 3 ting:
A) Vekta tipper til høyre
B) Vekta blir stående på midten, likevekt
C) Vekta tipper til venstre
For å finne ut hvilket av tilfellene 1-24 vi har, kan vi følge en eller annen framgangsmåte. F.eks. kan vi ha gjort det slik at hvis vekta tipper til høyre i 1. veiing, og blir stående i likevekt i 2. veiing er det kule nr 7 som er lett.
Problemet med 2 veiinger er at vi maksimalt har 3*3 = 9 muligheter (Først A, så A, eller først A, så B osv.)
En hvilken som helst framgangsmåte med 2 veiinger kan ha maksimalt 9 ulike konklusjoner. Uansett hvor bra metoden vår er, blir dette rett og slett for lite for å skille mellom alle de 24 mulighetene.
Dermed skulle det være bevist at 2 veiinger er for lite. Håper det var forståelig...
En framgangsmåte med 3 veiinger har maksimalt 3*3*3 = 27 ulike konklusjoner. Dette beviser ikke at det er mulig å skille de 24 tilfellene med 3 veiinger, men vi kan i hvert fall gjøre et forsøk....
Jeg ser det har kommet et løsningsforslag under en post i det samme emnet i det andre forumet. Jeg tar en tekstversjon her, som forhåpentlig er lett å forstå:
Legg 4 av kulene i hver skål. Legg til side de 4 siste kulene.
1. Skålvekta forblir i likevekt i 1. veiing:
Vi vet nå at kula ikke er blandt de 8 kulene på skålvekta. Nå har vi 2 veiinger på oss til å finne den blandt de 4 siste:
Vi legger så 2 av de ukjente kulene i en skål, og 1 ukjent + 1 normal kule i den andre. Her kan det skje flere ting:
a) Skålvekta er fortsatt i likevekt i 2. veiing:
Nå blir det lett, de 3 ukjente kulene på vekta må være normale. Vi har bare 1 ukjent kule igjen, som må være den som skiller seg ut. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne denne med en normal kule, for å finne vekta.
b) Skålvekta tipper til en av sidene i 2. veiing:
Ok, vi legger merke til hvilken vei vekta tippet, og bruker den 3. veiinga til å sammenligne de to ukjente kulene som lå i samme skål. Dersom disse kulene er like tunge, må det være den ukjente kula i den andre skåla som skiller seg ut, og vi vet allerede om den er lettere eller tyngre fra forrige veiing. Dersom de to kulene ikke er like tunge, ser vi også hvilken det må være, ettersom vi vet hvilken vei de to kulene tippet da de lå i samme skål.
2. Skålvekta tipper til en av sidene i 1. veiing:
Nå vet at kula som skiller seg ut er blandt de 8 kulene på skålvekta, men hvordan finner vi den ved bare 2 veiinger til? Jo, tenk deg at kule 1 til 4 ligger på skåla som tippet ned, kule 5 til 8 ligger på skåla som tippet opp. Så gjør vi et par knep før neste veiing:
Fjern kule 4 og 5, og bytt om kule 3 og 6. I tillegg bytter vi ut kule 2 med en normal kule. Nå kan det skje 3 ting:
a) Vekta vipper fortsatt til samme side i 2. veiing
Dette utelukker 2, 3, 4, 5 og 6. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne kule 7 og 8. Hvis disse er like tunge, må det være kule 1 som er tung. Ellers er det den av dem som er lettest (husk at kule 5-8 lå på skåla som tippet opp i 2. veiing)
b) Vekta går til likevekt i 2. veiing
Dette må bety at vi har fjernet kula, altså at det er enten kule 2, 4 eller 5. Vi finner svaret ved å sammenligne kule 2 og 4 i 3. veiing. Er de like, er kule 5 lett, ellers er det den tyngste av dem som er tung.
c) Vekta tipper til den andre siden i 2. veiing
Dette betyr at kulen er blandt de vi byttet om, altså kule 3 eller 6. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne en av dem med en normal kule. Vi vet jo allerede at kule 3 ikke kan være lett, og at kule 6 ikke kan være tung.
Dette skulle være hele løsningen. Jeg har ikke sjekket helt nøye, men det ser ut til at det andre forslaget gjør akkurat det samme...
Legg 4 av kulene i hver skål. Legg til side de 4 siste kulene.
1. Skålvekta forblir i likevekt i 1. veiing:
Vi vet nå at kula ikke er blandt de 8 kulene på skålvekta. Nå har vi 2 veiinger på oss til å finne den blandt de 4 siste:
Vi legger så 2 av de ukjente kulene i en skål, og 1 ukjent + 1 normal kule i den andre. Her kan det skje flere ting:
a) Skålvekta er fortsatt i likevekt i 2. veiing:
Nå blir det lett, de 3 ukjente kulene på vekta må være normale. Vi har bare 1 ukjent kule igjen, som må være den som skiller seg ut. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne denne med en normal kule, for å finne vekta.
b) Skålvekta tipper til en av sidene i 2. veiing:
Ok, vi legger merke til hvilken vei vekta tippet, og bruker den 3. veiinga til å sammenligne de to ukjente kulene som lå i samme skål. Dersom disse kulene er like tunge, må det være den ukjente kula i den andre skåla som skiller seg ut, og vi vet allerede om den er lettere eller tyngre fra forrige veiing. Dersom de to kulene ikke er like tunge, ser vi også hvilken det må være, ettersom vi vet hvilken vei de to kulene tippet da de lå i samme skål.
2. Skålvekta tipper til en av sidene i 1. veiing:
Nå vet at kula som skiller seg ut er blandt de 8 kulene på skålvekta, men hvordan finner vi den ved bare 2 veiinger til? Jo, tenk deg at kule 1 til 4 ligger på skåla som tippet ned, kule 5 til 8 ligger på skåla som tippet opp. Så gjør vi et par knep før neste veiing:
Fjern kule 4 og 5, og bytt om kule 3 og 6. I tillegg bytter vi ut kule 2 med en normal kule. Nå kan det skje 3 ting:
a) Vekta vipper fortsatt til samme side i 2. veiing
Dette utelukker 2, 3, 4, 5 og 6. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne kule 7 og 8. Hvis disse er like tunge, må det være kule 1 som er tung. Ellers er det den av dem som er lettest (husk at kule 5-8 lå på skåla som tippet opp i 2. veiing)
b) Vekta går til likevekt i 2. veiing
Dette må bety at vi har fjernet kula, altså at det er enten kule 2, 4 eller 5. Vi finner svaret ved å sammenligne kule 2 og 4 i 3. veiing. Er de like, er kule 5 lett, ellers er det den tyngste av dem som er tung.
c) Vekta tipper til den andre siden i 2. veiing
Dette betyr at kulen er blandt de vi byttet om, altså kule 3 eller 6. Vi bruker 3. veiing til å sammenligne en av dem med en normal kule. Vi vet jo allerede at kule 3 ikke kan være lett, og at kule 6 ikke kan være tung.
Dette skulle være hele løsningen. Jeg har ikke sjekket helt nøye, men det ser ut til at det andre forslaget gjør akkurat det samme...
Legg først 6 kuler på hver side. En side går ned.
Legg så 3 kuler på hver side. En side går ned.
Legg så 1 kule på hver side. Enten står de stille, den siste kula ligger då ved siden av, eller den tunge kula velter vekta over på en side.
Enkel løsning, men den funker!
Legg så 3 kuler på hver side. En side går ned.
Legg så 1 kule på hver side. Enten står de stille, den siste kula ligger då ved siden av, eller den tunge kula velter vekta over på en side.
Enkel løsning, men den funker!
Heisann! Jeg er Vimsen!!
I første veiing vil en side gå ned uansett når han veier alle kulene.ThomasB skrev:En fullstendig løsning må ta for seg alle muligheter, som hva som skjer hvis vekta ikke tipper i første veiing
I andre veiing derimot er det ikke sikkert, han vet jo ikke hvilken av sidene fra første veiing som inneholdt den spesielle kulen.
Jeg leste feil i teksten, og gikk ut ifra at den kula som var spesiell var tyngst. Ja, ja.oro2 skrev:I første veiing vil en side gå ned uansett når han veier alle kulene.ThomasB skrev:En fullstendig løsning må ta for seg alle muligheter, som hva som skjer hvis vekta ikke tipper i første veiing
I andre veiing derimot er det ikke sikkert, han vet jo ikke hvilken av sidene fra første veiing som inneholdt den spesielle kulen.
Heisann! Jeg er Vimsen!!
Jeg vet ikke om det er litt sent...
Du måler med 5 kuler på hver side. Hvis det er er likt da vet du at de en av to siste kulene er. Hvis de er det, så måler du en av dem med en hva vekten.
Hvis den første målingen er skjev...
Plukk ut en kuler fra vekten på hver side. Siden kulene er ennå på vekten, KAN du ikke si at du måle noe. Gjør det til du finner balansen og gjør den andre prossesen i : " Hvis de er det, så måler du en av dem med en hva vekten."
Du måler med 5 kuler på hver side. Hvis det er er likt da vet du at de en av to siste kulene er. Hvis de er det, så måler du en av dem med en hva vekten.
Hvis den første målingen er skjev...
Plukk ut en kuler fra vekten på hver side. Siden kulene er ennå på vekten, KAN du ikke si at du måle noe. Gjør det til du finner balansen og gjør den andre prossesen i : " Hvis de er det, så måler du en av dem med en hva vekten."
Beklager, Phi, men det er ikke mulig å finne den rette kulen med bare 2 veiinger til når du har 5 kuler på hver side i første veiing.
2 veiinger har bare 3*3 = 9 mulige utfall, mens her er det 10 muligheter. (en av kulene på den tyngste skålen er tung = 5 muligheter, en av kulene på den letteste skålen er lett = 5 muligheter)
2 veiinger har bare 3*3 = 9 mulige utfall, mens her er det 10 muligheter. (en av kulene på den tyngste skålen er tung = 5 muligheter, en av kulene på den letteste skålen er lett = 5 muligheter)