Areal av parallellogram med vektorer

[hco96]

Hei, jeg har følgende oppgave:

Vektorene [tex]\vec{a}= [8,-3][/tex] og [tex]\vec{b} = [1,5][/tex] Spenner ut et parallellogram.
a) Finn arealet av parallellogrammet.

Er det noen som kan gi meg noen tips på hva jeg kan bruke for å finne høyden?

På forhånd, takk.

EDIT: jeg ser at jeg har lagt inn innlegget i feil forum, det skal egentlig ligge i VGS-forumet.

[Drezky]

Tenk: "Hva er en høyde i en trekant?"

Kan du f.eks. bruke en arealsetning samt phytagoras, eller noen trignometriske funksjoner?

[hco96]

Selve høyden tenker jeg at jeg kan bruke formelen for lengder til vektorer, problemet mitt er å klare å finne en vektor som er ortogonal på vektor [tex]\vec{a}[/tex], altså grunnlinjen. Er det innafor å bruke arealsetning/trig. funksjoner på R1 eksamen? Har hatt om dette på forkurs til ingeniør, men jeg skal ha R1 eksamen om 2 uker.

[Drezky]

Selve høyden tenker jeg at jeg kan bruke formelen for lengder til vektorer, problemet mitt er å klare å finne en vektor som er ortogonal på vektor [tex]\vec{a}[/tex], altså grunnlinjen. Er det innafor å bruke arealsetning/trig. funksjoner på R1 eksamen? Har hatt om dette på forkurs til ingeniør, men jeg skal ha R1 eksamen om 2 uker.

Hvis ikke oppgaven presiserer noe annet enn at du skal finne høyden i parallellogrammet, så kjør på! Men siden oppgaven nevner vektorer, så tror jeg at det er "best" om vi ikke forlater vektorens verden.



Prøv å finn et punkt [tex]C[/tex] som er parallell med [tex]\vec{AB}[/tex] og samtidig står vinkelrett på linja gjennom [tex]\ell : origo-D[/tex]
Hint: tenk parameterframstilling.
Ev. bare å utrykke punktet [tex]C[/tex] ved hjelp av en posisjonsvektor (tenk; gå gjennom kjente veier), og denne vektoren [tex]\vec{OC}\perp \vec{AB}[/tex]

[hco96]

Jeg tenkte nogenlunde likt som det du gjorde, men jeg støtte på et par problemer.
Jeg lagde en linje [tex]y= -\frac{3}{8}x[/tex], hvilket ligger oppå vektor [tex]\vec{a}[/tex](grunnlinjen). Denne tilsvarer [tex]l : Origo - D[/tex] som du sa.
Etter det lagde jeg enda en linje som sto vinkelrett på [tex]y[/tex],dvs. [tex]g = \frac{8}{3}x[/tex].
Her begynte problemene, jeg tenkte at jeg kunne finne [tex]C[/tex] ved å regne ut hvor linja [tex]g[/tex] skjærer [tex]AB[/tex] (på din figur).
Men dette fikk jeg ikke til, hvordan skal jeg løse det? Jeg har prøvd å lage en parameterframstilling for en linje gjennom A(din figur) [tex]l : A \enspace til \enspace B[/tex]. Fungerer dette? Eller må jeg gå frem på en annen måte?

Edit: Prøvde å regne det ut på følgende måte:
[tex]A(1,5), \vec{a} = [8,-3][/tex]
[tex]l : \{ x = 1 + 8t, y = 5- 3t[/tex] og [tex]g=\frac{8}{3}x[/tex]
[tex]\Rightarrow 5-3t = \frac{8}{3}(1 + 8t)[/tex]
er dette riktig fremgangsmåte? Jeg regnet det ut men punktet ligger ikke der hvor [tex]g[/tex] skjærer [tex]AB[/tex] (din figur) i geogebra.

[Drezky]

Jeg tenkte nogenlunde likt som det du gjorde, men jeg støtte på et par problemer.
Jeg lagde en linje [tex]y= -\frac{3}{8}x[/tex], hvilket ligger oppå vektor [tex]\vec{a}[/tex](grunnlinjen). Denne tilsvarer [tex]l : Origo - D[/tex] som du sa.
Etter det lagde jeg enda en linje som sto vinkelrett på [tex]y[/tex],dvs. [tex]g = \frac{8}{3}x[/tex].
Her begynte problemene, jeg tenkte at jeg kunne finne [tex]C[/tex] ved å regne ut hvor linja [tex]g[/tex] skjærer [tex]AB[/tex] (på din figur).
Men dette fikk jeg ikke til, hvordan skal jeg løse det? Jeg har prøvd å lage en parameterframstilling for en linje gjennom A(din figur) [tex]l : A \enspace til \enspace B[/tex]. Fungerer dette? Eller må jeg gå frem på en annen måte?

Tja, dette fungerer, men kan egentlig løses mye enklere.

Husk også at vi har koordinatene til alle hjørnene i parallelogrammet siden
to og to sider er parallelle, da kan f.eks. [tex]B=(x,y)[/tex], og siden vektoren fra [tex]D[/tex] til [tex]B[/tex] er parallell med [tex]\vec{a}[/tex], får vi at [tex]\vec{a}=\left [ x-8,y--3 \right ]=\left [ 1,5 \right ]\Rightarrow B=(9,2)[/tex]



Det skal være mulig å finne høyden [tex]h[/tex] ved bruk av din metode. Det er helt riktig at [tex]y=-\frac{3}{8}x[/tex] er grunnflaten i parallellogrammet, og at høyden ligger oppå linja [tex]y=\frac{8}{3}x[/tex]

Det resterende blir å finne skjæringen mellom linja som går gjennom [tex]AB[/tex], dvs
[tex]3x+8y=43\Leftrightarrow y=-\frac{3}{8}x+\frac{43}{8}[/tex]

Finn skjæringspunktet [tex]x=\frac{129}{73}[/tex]
x-verdien innsatt i likninga (hvilken som helst gir at)

[tex]C=\left ( \frac{129}{73},\frac{344}{73} \right )[/tex]

Resten burde vel gå greit herfra?


Men en annen måte å løse denne på (beklager hvis jeg gir ut hele løsningsforslaget nå)

Punktet [tex]C[/tex] ligger på linja gjennom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] slik at
[tex]\vec{AC}\parallel \vec{AB}\Leftrightarrow \vec{AC}=k*\vec{AB}[/tex]

Vi går gjennom "kjente veier" Se figur: vi har at

[tex]\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AC}=\vec{b}+k*\vec{AB}=\left [ 8k+1,5-3k \right ][/tex]

Bruker at [tex]\vec{AC}\perp \vec{OD}\Leftrightarrow \vec{AC}*\vec{a}=0\Leftrightarrow k=\frac{7}{73}[/tex]

Dvs at punktet [tex]C[/tex] har koordinatene [tex]\vec{OC}=\left [ 8*\left ( \frac{7}{73} \right )+1,5-3*\left ( \frac{7}{73} \right ) \right ]=\left [ \frac{129}{73},\frac{344}{73} \right ][/tex]

Dermed blir høyden i parallellogrammet lik [tex]h=\left | \vec{OC} \right |=\frac{43}{\sqrt{73}}[/tex]

Alternativt kunne man finne en parameterfremstilling gjennom begge begge linja, og bruke at den korteste avstanden (høyden) står normalt på begge retningsvektorene til linja [tex]\vec{r}[/tex]
og fått to likninger med to ukjente, og satt dette deretter inn i [tex]\left | \vec{PQ} \right |[/tex]
, hvor [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex] er to tilfeldige punkt på linja uttrykkt ved forskjellige parametere.

[hco96]

Skjønner! takk for hjelpen.