Jeg høyner til 13: La $d_1,\dots,d_{13}\in\mathbb R$. Vis at vi kan finne $i$ og $j$ slik at $0<\frac{d_i-d_j}{1+d_id_j}<2-\sqrt3$.

Sorter slik at $d_1\le d_2\le\dots\le d_{12}$. Vi skal vise at det fins en $i$ slik at $d_i$, $d_{i+1}$ og $d_{i+2}$ danner en spissvinkla trekant. Kriteriet for dette er at $d_i^2+d_{i+1}^2>d_{i+2}^2$ som man kan se for eksempel ved å isolere cosinus i cosinussetninga. (At sidene da faktisk danner ...

For en vilkårlig x, la $r=r(x)=f(x)(1-f(x))$ slik at $f(x+a)=\frac12+\sqrt r$. Da er $f(x+2a)=\frac12+\sqrt{f(x+a)(1-f(x+a))}=\frac12+\sqrt{(\frac12+\sqrt r)(\frac12-\sqrt r)}=\frac12+\sqrt{\frac14-r}=\frac12+\sqrt s$ der $s=\frac14-r$. Videre er da $f(x+3a)=\frac12+\sqrt{(f(x+2a)(1-f(x+2a))}=\frac1...

La $q$ være en permutasjon \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ q_1 & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \end{pmatrix} , som svarer til maksimal $d$. Anta at $q_1\neq n$. Da fins en $n+1>k>1$ slik at $q_k=n$. Siden $q_1-1 + q_k - k =q_1-1+n-k \leq n-1+|q_1-k|$ må permutasj...

http://pastebin.com/hdt3WgPc Oppgava minner om denne , og "løsningene" er bare nesten-løsninger, sannsynligvis fordi beregningene ikke er gjort med tilstrekkelig presisjon. For eksempel er 10348623402^2=7317581783^2+7317581784^2-28141 . Nært, men ingen rull av tørkede tobakksblad til å rø...

Ser fint ut dette. På den første er du nesten i mål etter det første argumentet: a) Siden spørsmålet går ut på å vise at differansen er like kan vi jobbe modulo $2$. Differansen mellom to permutasjoner kan nå uttrykkes som $d(p,q) \equiv \sum_{i=1}^n p_i-q_i$ uten absoluttegn dersom vi regner modulo...

La n være et naturlig tall. For to permutasjoner $p=(p_1,p_2,\dots,p_n)$ og $q=(q_1,q_2,\dots,q_n)$ av $\{1,2,\dots,n\}$ definerer vi avstanden mellom disse ved $d(p,q)=\sum_{i=1}^n |p_i-q_i|$. For eksempel vil avstanden mellom (1,3,2) og (2,3,1) være 1+0+1=2. La $1_n=(1,2,\dots,n)$ slik at $d=d(p,1...

Svara på spørsmål 1 og 2 er begge ja, og du trenger denne informasjonen oversatt fra tekst til matematikk. Nå later jeg et øyeblikk som$f(x)\ge0$ for alle x slik at ideen bak argumentet er tydeligere, og så prøver du å fylle inn detaljene når vi ser bort fra en slik antakelse. Siden f er begrensa, f...

En geometrisk løsning på den første: Dersom 1 av de siste 3 faktorene på høyresida er negativ (det kan ikke være mer enn 1 negativ faktor) holder ulikheta opplagt. Vi sitter da igjen med tilfellene hvor alle faktorene er positive som betyr at a, b og c er sidene i en trekant. La \gamma være vinkelen...

Denne klarer du! Tenk deg at du har to identiske oppstillinger, en med spissen oppover og en med spissen nedover, her eksemplifisert med 5 rekker: ....x.... x.x.x.x.x ...x.x... .x.x.x.x. ..x.x.x.. ..x.x.x.. .x.x.x.x. ...x.x... x.x.x.x.x ....x.... Hvor mange kjegler har du i hver rad? Hvor mange rade...

Dette var også gitt som oppgave 7 i andre runde i Abelkonkurransen i fjor, se http://abelkonkurransen.no/problems.php?lan=no for oppgaver og løsningsforslag; det siste går vel i halvtellingsboksen. Morsom oppgave med overraskende (?) svar: Hva er P(X=0) når vi endrer {1,2,3,4,5} til {1,2,3,...,n} og...

Det ligger mye matematikk i tipping! Hvis du (endelig...) har meldt deg ut av militæret og blir hekta på dette, er det bare å begynne å studere matematikk og kodeteori spesielt. Det siste er (blant annet) en generalisering av problemer av typen du nevner. Disse er imidlertid ikke generelt løsbare i ...

Neida, stemmer dette! (Hvor god modellen da er, er en annen skål.)

Hint: B vil bare avslå hvis hun tjener på å gjøre dette. Hvilke tilbud vil B avslå? Hva bør i så fall A tilby for å maksimere sin profitt?

Er det en feil i oppgava? To av a, b og c er like, og hvis disse er betydelig mindre enn den tredje domineres venstreside av, si, 2a^2, mens høyre side domineres av a^2. Eksempelvis (a,b,c)=(5,1,1).