Følgen av reele tall $ a_0, a_1, a_2, \dots $ er definert ved
\[a_0 = -1 \text{ }, \sum_{k=0}^n \frac{a_{n-k}}{k+1} = 0\text{, for } n \ge 1. \]

Vis at ${} a_n > 0 $ for $ n \ge 1 $.

(Imo shortlist 2006, Poland)

Edit: formatering.

Nå synes jeg vi er litt for slem mot stenstrud her.

Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers. Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\ne...

Her kommer en sketch av min løsning. Vi slår parantesene sammen først: \[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\] Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\ba...

Ikke verst!

I en trekant $ABC$ skjærer høyden fra $A$ linjen $BC$ i punktet $D$. Speilbildene av $D$ om sidene $AB$ og $AC$ kaller vi henholdsvis $E$ og $F$. La $O_1$ være omsentret til trekanten $ABC$, og $O_2$ være omsentret til trekanten $O_1EF$. Vis at $O_1$, $O_2$, og $A$ ligger på linje. trekant.png (Omse...

Alternativt kan man observere at $\dfrac{n+1}{2}$ er bare et gjennomsnitt av $1+k$ og $n-k$ . Dermed kan vi gruppere faktorene i n! slik: \[n!=\left(1\cdot n\right)\left(2\cdot \left(n-1\right)\right)\dotsb\left(\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \cdot \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil\ri...

Planlegger å ta R2 privatisteksamen til høsten. For meg strekker matematikkunskapene mine seg mye lengre enn r2 pensum. Dermed har jeg tilgang til teoremer og andre matematiske verktøy som gjør mange av oppgavene trivielle (ikke at de ikke er mer eller mindre trivielle fra før, menmen). Så spørsmåle...

(Oppgåve 1) (Oppgåve 10) Hvis \sin \alpha +\sin \beta =\sqrt{\frac{5}{3}} og \cos \alpha +\cos \beta =1 . Hva er \cos(\alpha -\beta ) ? Man vet at $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$ Høyresiden kan vi finne ut ved å kvadrere de to likningene vi har fått, og summer...

Warning: brute-force Er det ikke en mulighet å gange ut hele uttrykket: $$ \sum_{cyc}\left (a^2+2 \right )\left (b^2+2 \right )\left (a^2+6bc \right )\left (b^2+6ca \right )\left (c^2+6ab \right )\leq\sum_{cyc}\left (a^2+2 \right )\left (b^2+2 \right )\left (c^2+2 \right )\left (a^2+6bc \right )\lef...

Er Lagrange Multipliers innafor?

Om man løser $x_{n+1}=\frac{1+x_n}{1-x_n}$ for $x_{n} $, får man$$ x_{n}=-\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}$$ Men høyre side er jo bare $-\frac{1}{x_{n+2}} $ Dermed har vi: $$x_{n}=-\frac{1}{x_{n+2}}=-\frac{1}{-\frac {1}{x_{n+4}}}=x_{n+4}$$ Siden 0 og 2016 er det samme modulo 4, vet vi at $$x_{2016}=x_{0}...

Siden veien innen en rad er entydig bestemt ut fra hvor marihøna går inn i raden og ut av raden, kan vi bare telle antall kombinasjoner av forskjellige plasser marihøna kan flytte seg ned i neste rad. Det er 9 rad marihøna kan flytte seg nedover, og på hvert rad er det 10 forskjellige plasser hvor d...

Litt bakgrunnsinfo om meg selv: Jeg er ganske glad i matematikk (elsker dette forumet :D ), og jeg vil si at jeg kan en stor liten del av det (mer enn nok til å lære VGS-elever alt mellom 1P og R2). Generelt sett fascinerer systemer og slikt meg, så det er ingen tvil om jeg ville ha elsket å gjøre e...