Hvordan gikk R1 eksamen? Og kan noen legge ut oppgavene fra i dag?

Oppfølger : La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $ab+bc+ca+abc=4$. Vis at $a+b+c\ge 3$ Vi beviser dette kontrapositivt. Anta at $a+b+c<3$, da har vi $ab+bc+ca\leq\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}<\frac{3^2}{3}=3$, og $abc\leq\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3<1$. Dermed er $ab+bc+ca+abc<3+1=4$, o...

Vanskelig oppfølger:

La $x,y,z$ være positive reele tall. Bevis at \[ \left( xy+yz+zx \right)\left( \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2} \right) \ge \frac{9}{4}.\]

Oppfølgere: Vanskelig: La x,y\in \mathbb{R} slik at x^3+y^3+\frac{x+y}{4}=\frac{15}{2} . Vis at x+y\le 3 . $$\dfrac{15}{2}=x^3+y^3+\dfrac{x+y}{4}\geq 2\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^3+\dfrac{x+y}{4}.$$ La $s=x+y$. Da har vi \[2\left(\dfrac{s}{2}\right)^3+\dfrac{s}{4}\leq \dfrac{15}{2} \Leftrightarrow ...

Oppfølger:

For $a,b,c \ge 0$, bevis at \[ \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2 \ge a^3(b+c) + b^3(c+a) + c^3(a+b).\]

Oppfølger: La $\alpha, \beta, \gamma$ være vinklene i en vilkårlig trekant. Vis at $$\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) + \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) + \sin \left( \frac{\gamma}{2} \right) > 1$$ På grunn av at $\sin(x)$ er konkav for $x\in<0,\pi/2>$, oppfylles ulikheten $\sin(a)+\sin(b)>\...

Takk, da gir det mening.

Er studiepoengreduksjon positivt?

\[ a^2+4\dfrac{b^2+c^2+d^2+e^2}{4}\geq a^2+ 4 \left( \dfrac{b+c+d+e}{4} \right)^2 = a^2+\dfrac{\left(b+c+d+e\right)^2}{4} \geq 2\sqrt{a^2\dfrac{\left(b+c+d+e\right)^2}{4}}=a(b+c+d+e)\] Den første ulikheten følger av QM-AM, mens den andre er AM-GM. Likhet oppfylles når $b=c=d=e$ og $a=b+c+d+e$. Oppfø...

NTNU tilbyr elever på VGS muligheten til å ta enkeltemner i matematikk dersom man var tidlig ute med R2 (UNG-ordningen). Fagene som tibys er Grunnkurs i Analyse 1&2, Lineær Algebra, Geometri, og Tallteori. Blant disse er både analyse og lineær algebra nødvendige/svært anvendbare i ingeniøryrker ...

Her er sensorveiledningen til eksamen som har vært i dag.

På siste deloppgave i del 1 skal svaret være $a\in(\frac{1}{2},+\infty)$. Interessant nok så er det tilfellet for alle geometriske følger som har første ledd lik $1$, så oppgaven kunne nok ha vært enklere formulert.


Edit: forbedret formulering.

Påtar meg ansvaret av å "leake" oppgavene fra i dag.

Et punkt $P$ ligger i det indre av en trekant $ABC$. Vis at minst en av vinklene $\angle PAB, \angle PBC,$ og $\angle PCA$, må være mindre enn eller lik $30^\circ$. Hint: Et sted å starte er den trigonometriske formen for Cevas setning, som sier at $$\frac{\mbox{sin}(\angle ABP)}{\mbox{sin}(\angle C...

Gitt trekanten $ABC$, kall dens omsirkel $\omega$. $D$ er midtpunktet av buen $AC$. La linjen parallell til $AC$ gjennom $D$ skjære $BC$ i $E$, og la $F$ være den andre skjæringen mellom $AE$ og $\omega$. Bevis at $\overline{BF}$ halverer $DE$.